对“分数”的多维多元理解
小学生真的理解分数吗?学生理解过程中的障碍是什么?在小学教学研究中,分数的认识和运算是老师们比较喜欢选择的课题之一,这是因为“分数”是一个内涵丰富的数学概念,是人们比较早就认识了的数,在数学发展史中具有重要的地位。它又是一个核心概念,与小学数学中的其它概念有着紧密的联系。
分数的意义是多层次的,认识分数的模型也是多层次的。从“行为”的角度看,除了从“平均分”认识分数外,“测量”也是认识分数的重要途径。我们知道,自然数主要用于“数”个数,即数“离散的量”的个数,当测量“连续的量”时,首先需要选定“度量单位”,“数”被测量物体中包含多少个“度量单位”。一般情况下,我们不能“数尽”,为了得到更准确地值,我们把原来的“度量单位”分割为更小的“度量单位”,再以更小的度量单位来测量得到更准确地结果。这时,就可以用“分数”来表示测量的结果,只不过此时得到的“分数”不是一般的分数,而是特殊的“十进分数”即小数。这时,是从“量”的角度理解分数。
在小学阶段主要学习“行为的分数”,教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型,建立分数的概念。例如把一个月饼平均分成两份其中的一份是1/2个,把一张纸平均分成四份,其中的一份是1/4。这仅仅是从面积模型的角度来理解分数,学生理解分数可以借助于多
种“模型”。
1.分数的面积模型:用面积的部分---整体表示分数
儿童最早是通过“部分---整体”来认识分数,因此在教材中分数概念的引入是通过“平均分”某个“正方形”或者某个“圆”,取其中的一份或几份认识分数的,这些直观模型即为分数的“面积模型”。
2.分数的集合模型:用集合的“子集---全集”来表示分数 这也是“部分---整体”的一种形式,与分数的面积模型联系密切,甚至几乎没有区别。但学生在理解上难度极大,关键是“单位1”不在正真是“1个整体”了,而是把几个物体看作“1个整体”,作为一个“单位”,所取得“一份”也不是“一个”,可能是“几个”作为“一份”。 分数集合模型的优点是有利于用比较抽象的数值形势表示“比”与“百分比”。这时我们把分数看作是“算子”,即把分数看作是一个“映射”。
3.分数的“数线模型”:数线上的点表示分数
分数的“数线模型”就是用“数线”上的点表示分数,它把分数化归为抽象的的数,而不是具体的事物。对这个模型的理解需要学生更高水平的抽象能力,甚至有的初中学生对用“分数”表示点仍然感到困难。
“数线模型”是“数轴”的前身,是数轴的“局部放大”和“特殊化”,是用“点”来刻画“分数”。
人教版数学五年级下册对分数的多维多元理解
