绵阳市高2015级第一次诊断性考试
数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCADC BCBAB AB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．3
14．(??，?)?(，??) 15．
32121320 16．(，)
223三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解 ：（Ⅰ）由图得，A?2． …………………………………………………1分
3?5?3?T???，解得T??， 43124于是由T=
2????，得??2．…………………………………………………3分 2?2???)?2，即sin(??)?1， 33∵ f()?2sin(?3∴
2??????2k??，k∈Z，即??2k??，k∈Z， 326又??(??，)，所以???，即f(x)?2sin(2x?)． …………………6分
6226???(Ⅱ) 由已知2sin(2???6?3)?，即sin(2??)?， 6565因为??(0，)，所以2????63?(??，)，
624． …………………………………8分 5?∴ cos(2???6)?1?sin2(2???6)?∴sin2??sin[(2???6)??6]?sin(2???6)cos?6?cos(2???6)sin?6
3341=??? 5252?4?33． ………………………………………………………12分 1018．解：（Ⅰ）设{an}的公差为d(d>0)，
由S3=15有3a1+
3?2d=15，化简得a1+d=5，① ………………………2分 2又∵ a1，a4，a13成等比数列，
22
∴ a4=a1a13，即(a1+3d)=a1(a1+12d)，化简3d=2a1，② ………………4分
联立①②解得a1=3，d=2，
∴ an=3+2(n-1)=2n+1． ……………………………………………………5分 ∴
11111??(?)，
anan?1(2n?1)(2n?3)22n?12n?31111111111nT?[(?)?(?)???(?)]?(?)?∴ n．
235572n?12n?3232n?33(2n?3) ……………………………………………………7分
(Ⅱ) ∵ tTn?an+11，即
tn?2n?12，
3(2n?3)3(2n?12)(2n?3)3(4n2?30n?36)9∴ t???12(n?)?90，………………9分
nnn又n?9≥6 ，当且仅当n=3时，等号成立， n∴ 12(n?)?90≥162， ……………………………………………………11分 ∴ t?162．……………………………………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理
得sin?BAD?∴ ?BAD?9nADBD?，
sin?Bsin?BADBD?sin?B1?， …………………………………………4分
AD2?6，?ADB???2?????， 366∴ ?ADC????6?5?． ……………………………………………………6分 6(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=
?，故AB=BD=2． 6在△ACD中，由余弦定理：AC2?AD2?CD2?2AD?CD?cos?ADC， 即52?12?CD2?2?23?CD?(?2
3)， ……………………………………8分 2整理得CD+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，………………10分 ∴ BC=BD+CD=4+2=6． ∴ S△ABC=
113?AB?BC?sin?B??2?6??33． ……………………12分 22220．解：（Ⅰ）f?(x)?3x2?2x?1?(3x?1)(x?1) ， ……………………………1分
由f?(x)?0解得x?11或x??1；由f?(x)?0解得?1?x?，
33112]，于是f(x)在[?1，]上单调递减，在[，2]上单调递增． 又x?[?1，33 …………………………………………………………………3分
15?a， ∵ f(?1)?a?1，f(2)?10?a，f()??327∴ f(x)最大值是10+a，最小值是?5?a．………………………………5分 274)， (Ⅱ) 设切点Q(x，x3?x2?x?a)，P(1，则kPQx3?x2?x?a?4， ?f?(x)?3x?2x?1?x?12整理得2x3?2x2?2x?5?a?0， ……………………………………………7分 由题知此方程应有3个解． 令?(x)?2x3?2x2?2x?5?a， ∴ ??(x)?6x2?4x?2?2(3x?1)(x?1)， 由??(x)?0解得x?1或x??11，由??(x)?0解得??x?1，
3311??)上单调递增，在(?，1)上单调递减． ?)，(1，即函数?(x)在(??，33 ……………………………………………………………………10分
1要使得?(x)?0有3个根，则?(?)?0，且?(1)?0，
3解得3?a?145， 27即a的取值范围为(3，145)． ………………………………………………12分 271ax2?(a?1)x?1(ax?1)(x?1)21．解：（Ⅰ）f?(x)???ax?(a?1)?． …1分 ?xxx??)上单调递减；………………3分 ① 当a≤0时，f?(x)?0，则f(x)在(0，② 当a?0时，由f?(x)?0解得x?11，由f?(x)?0解得0?x?． aa11??)上单调递增； 即f(x)在(0，)上单调递减；f(x)在(，aa??)；a?0时，f(x)的单调递减区间综上，a≤0时，f(x)的单调递减区间是(0，11??)． ……………………5分 是(0，)，f(x)的单调递增区间是(，aa11??)上单调递增， (Ⅱ) 由（Ⅰ）知f(x)在(0，)上单调递减；f(x)在(，aa11?1． …………………………………………6分 则f(x)min?f()?lna?a2a要证f(x)≥?即证lna≥1?3131?1≥?，即证lna?，即lna+?1≥0，
2a2a2aa1．………………………………………………………………8分 a构造函数?(a)?lna?11a?11?1，则??(a)??2?2，
aaaa由??(a)?0解得a?1，由??(a)?0解得0?a?1，
1)上单调递减；?(a)在(1，??)上单调递增； 即?(a)在(0，1∴ ?(a)min??(1)?ln1??1?0，
1即lna?1?1≥0成立． a从而f(x)≥?3成立．………………………………………………………12分 2a22
22．解：（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程为(x-3)+(y-4)=25，
22
即x+y-6x-8y=0． ……………………………………………………………2分
∴ C的极坐标方程为??6cos??8sin?． …………………………………4分 （Ⅱ）把???6代入??6cos??8sin?，得?1?4?33，
∴ A(4?33，)． ……………………………………………………………6分
?6把???3代入??6cos??8sin?，得?2?3?43，
∴ B(3?43，)． ……………………………………………………………8分
?3∴ S△AOB?1?1?2sin?AOB 21???(4?33)(3?43)sin(?) 236?12?253． ……………………………………………………10分 423．解：（Ⅰ）当x≤?3时，f(x)=-2-4x， 2由f(x)≥6解得x≤-2，综合得x≤-2，………………………………………2分当
?311?x?时，f(x)=4，显然f(x)≥6不成立，……………………………3分当x≥时，222f(x)=4x+2，由f(x)≥6解得x≥1，综合得x≥1，……………4分
?2]?[1，??)．…………………………………5分 所以f(x)≥6的解集是(??，（Ⅱ）f(x)=|2x-1|+|2x+3|≥(2x?1)?(2x?3)?4，
即f(x)的最小值m=4． ………………………………………………………7分 ∵ a?2b≤(a?2b2)， …………………………………………………………8分 2a?2b2)， 2由2ab?a?2b?4可得4?(a?2b)≤(解得a?2b≥25?2，
∴ a?2b的最小值为25?2．………………………………………………10分
四川省绵阳市2020届高三第一次诊断性考试数学（文）答案
