Cahn-Hilliard方程的时间双层网格混合有限元方法

Cahn-Hilliard方程的时间双层网格混合有限元方法

李亚倩，王旦霞*

【摘 要】摘要：针对数值求解Cahn-Hilliard方程时非线性项引起的时间耗时问题，提出了时间双层网格混合有限元方法.首先，在时间粗网格上，通过非线性牛顿迭代方法求解非线性混合有限元系统，其中空间离散采用混合有限元方法，时间离散采用隐式欧拉格式；其次，基于初始迭代数值解和拉格朗日插值公式，在时间细网格上求解线性混合有限元系统；最后，分析了该方法的稳定性和误差估计，并通过数值算例进行验证.结果表明，与传统的混合有限元方法相比，该方法可以节省计算时间.

【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2019(055)006 【总页数】8

【关键词】混合有限元方法；时间双层网格方法；Cahn-Hilliard方程；稳定性；误差估计；计算时间

基金项目:国家自然科学基金资助项目(11401422)；山西省自然科学基金资助项目(2017119)

Cahn-Hilliard方程由Cahn和Hilliard在1958年提出，用于描述复杂的相分离和粗化现象[1-3].近年来，该方程用于模拟自然界中的各种现象，如失稳分解[4]、图像修复[5]、肿瘤增长模型[6]等.Cahn-Hilliard方程的数值方法已有广泛研究，如多维问题的非协调有限元方法[7]、多重网格有限元求解器[8]、二阶凸分裂方法[9]、傅里叶谱方法[10]等.

针对求解Cahn-Hilliard方程时非线性项引起的时间耗时问题，许多学者提出

了一系列快速方法：如自适应时间步长方法[11]、大时间步长方法[12]、两层空间网格方法[13]等.最近，对于时间分数阶水波模型，文献[14]提出了时间双层网格有限元方法，文献[15]将该方法应用到空间分数阶Allen-Cahn方程，并验证了该方法的有效性.

受文献[14-15]的启发，文中针对非线性Cahn-Hilliard方程，将混合有限元方法与时间双层网格方法相结合，对数值格式的稳定性和误差进行分析，并通过数值算例验证了相应结论.

1 模型及变量

文中研究Cahn-Hilliard方程 (1)

其中，Ω?Rd,d=2；ε是给定参数；ut是关于时间t求偏导数；n是单位外法向量；f(u)=u3-u；u是混合物中某种物质的浓度，w为化学势.

2 理论准备

设L2(Ω)是平方可积函数空间，其内积和范数分别定义为 空间Hm(Ω)的范数定义为 记

Cahn-Hilliard方程(1)的混合弱形式即求u,w∈L2(0,T;H1(Ω))，使得 (2)

令Th={K}为Ω的拟一致三角剖分，hi是空间网格步长，且对任意的整数r，定义分段多项式空间

Vh={u∈C0(Ω):|u|K∈Pr(K),?K∈Th},

则Vh?H1(Ω)，其中Pr(K)是次数不超过r的多项式的集合.

引理1 存在不依赖空间网格步长h的常数C>0，满足逆不等式 =v=≤Ch-1=v=, ?v∈Vh.

3 时间双层网格混合有限元方法

3.1 数值格式 首

先

，

划

分

时

间

区

间

[0,T]

为

粗

一

致

剖

分

：

0=t0

在时间粗网格上，s为n，#为c；在时间细网格上，s为m，#为f.

考虑Cahn-Hilliard方程全离散格式，即求Um+1,Wm+1∈Vh,使得对任意的vh,qh∈Vh，有 (3)

注1：(3)式采用牛顿迭代方法计算时，由于非线性项(f(Um+1),qh)的存在，使得计算量和时间消耗显著上升.为了提高混合有限元离散系统(3)的计算效率，考虑下面的时间双层网格混合有限元方法，其中τc是时间粗网格步长，τf是时间细网格步长.

3.2 时间双层网格混合有限元方法

第一步.在时间粗网格上，使用牛顿迭代方法求数值解即

第二步.在初始迭代数值解和之间使用拉格朗日插值公式得到时间细网格节点处的插值解，记为