凸函数的性质及其应用

由天下分享时间：2024/11/23 23:40:35 加入收藏我要投稿点赞

摘要

高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。

同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。

本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。

关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题

Abstract

Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines.

Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's. The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply.

Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem

摘要 ................................................................................................................................ I Abstract ......................................................................................................................... II

第1章绪论 ............................................................................................................. 1 第2章预备知识 ....................................................................................................... 3

2.1 凸函数的定义 ............................................................................................... 3 2.2 凸函数的定理 ............................................................................................... 6 2.3 凸函数的简单性质 ....................................................................................... 9 2.4 几种常见的不等式 ..................................................................................... 10 第3章在数学中的应用 ......................................................................................... 12

3.1. 初等不等式的证明 ...................................................................................... 12 3.2 函数不等式的证明 ..................................................................................... 14 3.3 积分不等式的证明 ..................................................................................... 15 第4章凸函数在经济学的中应用 ......................................................................... 19

4.1 最优化问题 ................................................................................................. 19

4.1.1 线性规划下的最优化问题 ............................................................... 19 4.1.2 非线性规划下的最优化问题 ........................................................... 21 4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 ......................................................................... 26 结论 ............................................................................................................................. 28 参考文献 ..................................................................................................................... 29 致谢 ............................................................................................................................. 30

第1章绪论

提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。而在大学阶段对凸函数的研究就更加深入了。由于其有很多好的性质，因此在数学之中将其分离出来，独立研究。在整个函数研究领域中占有十分重要的地位。它的概念最先见于国外学者的著述之中。从众多的文献中我们知道现在对凸函数的研究已从定义上升到凸分析再到凸函数的运用，尤其是它在纯粹数学和运用数学之中的许多领域有着举足轻重的作用。如今已成为众多的学科有力工具和理论基础，比如说在对策论，数学规划，变分学，数理经济学以及最优控制等等学科。本文重点通过凸函数的性质引出凸函数的运用，在应用方面主要探讨的是凸函数在两大领域的运用——数学和经济学，当然凸函数在其他的方面也有很多的应用。

在数学领域中，本文主要讨论了运用凸函数的方法来证明复杂的不等式比传统的方法更加的便利，并通过一些实际的例子我们可以得出结论的是：利用凸函数的方法显然比较简洁。

在经济学领域中，作为凸函数应用的的新发展。主要是最优控制方面的简单介绍。介绍经济学中一些重要的方法和一些工具，目标函数，凸规划等。从这些方法中得出的结论给经济学中投资决策有着重要的依据。

到目前为止，我们知道凸函数在许多的方面都有应用，但是我们也要注意到凸函数的局限性。从以往的论文或者专著来看，凸函数还是有一定的局限性，最为突出的就是其在理论上的。使得凸函数的运用更为广泛显得很劲瓶。所以必须更深入的研究凸函数。

凸函数是一种十分重要的数学概念，它在许多领域都有具有广泛的应用。正是由于凸函数有许多优良的性质的应用，现已经成为许多学科的重要理论基础和有力工具。2010年梁艳在发表《凸函数的应用》[1]一文阐述了凸函数的性质在证明数学中不等式应用。2009年黑志华，付云权在他们的《凸函数在微观经济学中的应用》[2]一文中阐述如何利用凸函数的性质去解决经济学中的一些问题。同样的在国外也得到了广泛的应用。如Neculai Andnei发表的《Convex function》[3]，主要介绍了一些有关凸函数的性质定理以及例举出了一些实际的应用。

现在由于凸函数在概念上的净瓶，出现许多的新的发展，比如广义凸函数，下面简单的介绍一下些。

凸函数的理论起源于本世纪前期，最初的理论奠基来自于Jenson，Holder等的著述之中，但是那时候并没有引起人们的关注。然而就在本世纪的40，50年代才引起了广泛的重视，由于某种的需要随之而来的就是对其概念研究，已经在运用方面的研究。就在50年代初期和60年代的末期，我们的学者对其进行了大量的研究，并得到了一些重

要的，有价值的研究成果。于是在上世纪60年代产生了凸分析，其概念也被推广。

定义1.1[4]：我们可以设集合C?Rn,x,y?C属于其中的数，令实数a其中实数a的取值范围在?0,1?，那么下面的不等式是成立：

ax??1?a?y?C

则称集合C为凸集。

设h: A?Rn?R,其中A为凸集

定义1.2[4]：如果有一个函数h满足下面的不等式的话：

h??x??1???y??max?h?x?,h?y??

对于任何的x,y都属于开凸集C中，其中，则称h是A上的拟凸函数。h

为拟凸函数的充要条件的是x,y属于开凸集C中，那么目的函数h在开凸集C上可微的。

当以下不等式

x,y?C,?x?y??h?y??0?h?x??h?y?

T成立，则可以称h在开凸集C上的伪凸。