第三讲
行程之多人多次相遇
教学目标 行程问题是各种竞赛与小升初入学考试必考大题，其中多人多次相遇问题是行程问题中的难点，本讲从一般的相遇与追及问题出发，讨论在环形线路、变速变向等多种行程问题，并引伸到与行程问题相类似的钟面问题。
1. 回顾火车过桥、流水行程等问题； 2. 环形路线上的相遇和追及问题； 3. 速度行程问题与比例关系； 4. 钟面上的行程问题。
专题回顾
【例1】 一条船顺水航行48千米，再逆水航行16千米，共用了5小时；这知船顺水航行32千米，再
逆水航行24千米，也用5小时。求这条船在静水中的速度。
【分析】
这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下： 顺水 48千米 32千米 逆水 16千米 24千米 时间 5小时 比较条件可知，船顺水航行48千米，改为32千米，即少行了48-32=16（千米），那么逆水行程就由16千米增加到24千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的16÷8=2倍。所以“逆水航行16千米”，可转换为“顺水航行16×2=32（千米），这样船5小时一共顺水航行18+32=80（千米），船顺水速为80÷5=16千米，船逆水速为16÷2=8（千米）。船静水速为（16+8）÷2=12（千米）。
【例2】 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步。甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他们
的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，求A、B两点间的距离为多少米？
A【分析】
（法一）画图分析知甲、乙速度比为：S甲:S乙?V甲:V乙?3:7，第四次相遇甲乙共走：4×2
CEDB
－1＝7（个全程），甲走了：3×7＝21（份）在C点，第五次相遇甲乙共走：5×2－1＝9（个全程），甲走了：3×9＝27（份）在D点,已知CD是150米，所以AB的长度是150÷6×（3+7）＝250（米）。
（法二）也有不画图又比较快的方法：第四次相遇：（2×4－1）×3÷20余数为1 则在x的位置，第五次相遇：（2×5－1）×3÷20余数为7 则在7x的位置，x表示速度基数
，即全程AB为250米。 7x?1x?6x， 6x?150，10x?10?150?6?250（米）
【拓展】（08年首届奥数网杯）电子玩具车A与B在一条轨道的两端同时出发，相向而行。已知A比B的速度快50%，根据推算，第20072007次相遇点与第20082008次相遇点相距58厘米，这条轨道长_厘米。
0192837465【分析】
A、B两车速度比为?1?50%?:1?3:2；
第20072007次相遇点的位置在：
3??2?20072007?1??5?mod10?；
第20082008次相遇点的位置在：
3??2?20082008?1??3?mod10?
所以这条轨道长
58??5?3??5?145（厘米）
经典精讲 环形跑道行程
【例3】 如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。甲、乙两人分别从两
个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？
乙甲
【分析】
当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长。
当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（300米）需
300??90?70??15（分）， 此时甲走了90?15?300?4.5（条）边，
所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走0.5条边就可以看到乙了，即甲从出发走5条边后可看到乙，共需
2300?5?90?16（分），即16分40秒。
3
【例4】 甲乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形ABCD，其中AD?100米，
AB?80米，已知水流从左到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从A处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快1米，（AB、CD边上视为静水），两人第一次相遇在CD边上的P点，4CP?CD，那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次？（5次）
BPCAD
【分析】
设乙的速度为x米/秒，则可列得方程：
80?80?410010080-80?4 ???x+1x+1+1x+1x解得：x?3。所以甲的速度为4米/秒。
11甲游一圈需要93秒，乙游一圈需要128秒。
3315分钟内，甲游了3圈还多20秒，乙游了2圈还多43秒。
3多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了5圈。 所以两人共相遇了5次。
【例5】 （2005年《小学生数学报》优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的
两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从点A出发，那么当两个机器人在跑道上第3迎面相遇时，机器人甲距离出发点A点多少厘米?
A200100200
【分析】
第一次在B1点相遇，甲、乙共跑了400厘米(见左下图)。
AAB1B1B2
第二次在B2点相遇（要排除甲还没有第二次上长跑道时可能发生的相遇事件），甲、乙共跑了700厘米(见右上图)。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。共用时间 (400+700+700)÷(6+4)=180(秒)， 甲跑了6×180=1080(厘米)，距A点 400×3—1080=120(厘米)。
注：处理多次相遇问题时，有一种常见思考方法——分段考虑。
【例6】 （第五届“走进美妙的数学花园”决赛）如图，甲、乙两只蜗牛同时从A点出发，甲沿长方形
ABCD逆时针爬行，乙沿?AOD逆时针爬行．若AB?10，BC?14，AO?DO?10，且两只蜗牛的速度相同，则当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为多少?
ABOBC
【分析】 很显然，在这幅地图上最长的距离是长方形的对角线，如果两只蜗牛同时处于一条对角线
的两端，那么这是这两只蜗牛之间的距离达到最大值.对角线有两条所以也应该分为两种情况： 情况一；甲在C点，乙在A点，这种情况下乙走了整数圈，甲走了若干圈又一条短边，一条长边，设乙走了x圈，甲已走了y圈.则可以列出不定方程：
?10?10?14?x??10?14?10?14?y?10?14
化简为34x?48y?24，由于等式右边是24的倍数，所以x至少应该取12，此时y?8，两只蜗牛共走了816。
情况二：甲在B点，乙在D点，这种情况下乙走了若干圈又20，甲走了若干圈又10，设两只蜗牛分别行走了x圈和y圈，则可以列出不定方程：
34x?20?48y?10
化简为17x?5?24y，x?11是方程的最小解，此时y?8，两只蜗牛一共行走了788. 显然情况二最先发生，所以当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为788。事实上两只蜗牛在走过情况二之后各走了14，就变成了情况一的情形，如果在讨论两种情况之前就想到这一点，就可以少讨论一种情况了。
【例7】 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上。
它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行，速度分别是10厘米/秒、5厘米/秒、3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？
【分析】
（法一）先来详细讨论一下：
⑴先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置。
开始时,他们相差30厘米,每秒钟B能追上C的路程为5-3=2(厘米)；
30??5?3??15(秒)
因此，15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米,需
要90??5?3??45(秒)。
B与C到达同一位置,出发后的秒数是15，60，105，150，195，LLL ⑵再看看A与B什么时候到达同一位置。 第一次是出发后30??10?5??6(秒)，
以后再要到达同一位置是A追上B一圈,需要90??10?5??18(秒)。
A与B到达同一位置,出发后的秒数是6，24，42，60，78，96…… 对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置。
（法二）本题的数学模型，其实是一个数N被45除余15，这个数N被18除余6。设两个商分别为x和y，那么可得到等量关系式45x?15?18y?6，整理得到5x?2y?1?0，x?1和y?3是满足条件的最小自然数组。所以3只爬虫出发后60秒多少时间第一次到达同一位置。
【例8】 如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，
甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑．两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25％，乙把速度提高了20％．结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B．如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米。
【分析】
相遇后乙的速度提高20％，跑回B点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为5:6，所以所花时间的比为6:5。
设甲在相遇时跑了6单位时间，则相遇后到跑回A点用了5单位时间。设甲原来每单位时间的
速度V甲，由题意得：
6V甲?5?V甲??1?25%??490
AB
第3讲竞赛123班教师版
