注意：①θ为速度方向与x轴的夹角，α为位移方向与x轴的夹角；②解题时应灵活处理，例如平抛运动中，竖直方向的分速度vy＝gt，除该公式外，如果知道高度，还可以根据vy＝2gh计算。
例2 (多选)如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b的长 B．b和c的飞行时间相同
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C．a的水平速度比b的小 D．b的初速度比c的大 (1)平抛运动的飞行时间怎么求？ 12
提示：由y＝gt得t＝
2
2y来求。
g(2)高度相同，初速度不同的平抛运动，会有什么结论？
提示：同样的高度就会有同样的飞行时间，初速度不同，水平位移就不一样。
12
[规范解答] 平抛运动在竖直方向上的分运动为自由落体运动，由h＝gt可知，飞行时间由
2高度决定，hb＞ha，故a的飞行时间比b的短，A错误；同理，b和c的飞行时间相同，B正确；根据水平位移x＝v0t，a、b的水平位移满足xa＞xb，且飞行时间tb＞ta，可知v0a＞v0b，C错误；同理可得v0b＞v0c，D正确。
平抛运动的飞行时间由竖直高度决定。水平位移由竖直高度和初速度共同决定。
[变式训练2] 如图所示，某同学将一个小球在O点以不同的初速度对准前方的一块竖直放置的挡板水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别是v1、v2、v3，打在挡板上的位置分别是B、C、D，且AB∶BC∶CD＝1∶3∶5，则v1、v2、v3之间的正确关系是( )
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1 B．v1∶v2∶v3＝5∶3∶1 C．v1∶v2∶v3＝6∶3∶2 D．v1∶v2∶v3＝9∶4∶1
解析 在竖直方向上，由t＝2ygxt得小球落到B、C、D所需的时
间比t1∶t2∶t3＝AB∶AC∶AD＝1∶1＋3∶1＋3＋5＝1∶2∶3；在水平方向上，由v＝得，v1∶v2∶v3＝∶∶＝6∶3∶2，C正确。
xxxt1t2t3
课堂任务3
平抛运动的两个重要推论
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
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活动1：如图所示，速度偏向角的正切值是什么？速度的反向延长线在x轴上的交点有什么特点？
提示：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tanθ＝＝。①
将代表速度矢量v的箭头反向延长，速度偏向角的正切值还可以用长度之比来表示，
vygtvxv0
即tanθ＝
yAxA－OB＝11
，② 联立①②解得OB＝v0t＝xA，
22v0t－OB12
gt2
即速度的反向延长线过水平位移的中点。
活动2：如图所示，速度偏向角与位移偏向角之间的关系怎样？ 提示：由活动1知速度偏向角的正切值tanθ＝，①
12gty2gt由图知位移偏向角的正切值tanα＝＝＝。② 比较①②可得tanθ＝2tanα。
xv0t2v0
活动3：讨论、交流、展示，得出结论。
(1)推论一：做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(2)推论二：做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度、位移与水平方向的夹角分别为θ、α，则tanθ＝2tanα。
gtv0
例3 如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，则(不计空气阻力)( )
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A．当v1>v2时，α1>α2 B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2 D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
(1)小球位移是什么方向？初速度是什么方向？位移与水平方向的夹角有什么特点？
提示：小球的起点和终点都在斜面上，位移沿斜面向
下，小球初速度是水平方向，不管速度多大，位移与水平方向的夹角都等于斜面的倾角。
(2)平抛运动中速度的偏向角和位移的偏向角有什么关系，会因为初速度不同发生变化吗？
提示：只要是平抛运动，运动中速度的偏向角与位移的偏向角一定满足tanθ＝2tanα(θ、α分别为速度、位移的偏向角)，与初速度无关。
[规范解答] 小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜
12
gt2
面倾角θ，即tanθ＝＝则tan(θ＋α)＝＝yxv0t＝
gt，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为θ＋α，2v0
vygt，故可得tan(θ＋α)＝2tanθ，只要小球落到斜面上，位移方向与vxv0
水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是θ＋α，故速度方向与斜面的夹角就总是相等，与v0的大小无关，C项正确。
运用推论二的关键是找准位移偏向角与速度偏向角，再分析判断问题。
[变式训练3] 如图所示，墙壁上落着两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成53°，飞镖B与竖直墙壁成37°，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，求
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射出点离墙壁的水平距离。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
解析 飞镖与墙壁的夹角为平抛运动物体速度与墙壁所成的角，由于水平位移相同，故速度反向延长线必交于水平位移上的同一点。将两只飞镖的速度反向延长与初速度的延长线交于一点C，作出如图所示情景图。设总的水平距离为x，CD＝，BD＝CD·cot37°，AD＝
2
xCD·cot53°，且BD－AD＝d，解得x＝d。
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课堂任务4 与斜面结合的平抛运动问题
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：甲图中到达斜面时速度偏向角α与斜面倾角θ有什么关系？
提示：由课堂任务3里的讨论知道，θ就是位移的偏向角。故有tanα＝2tanθ。 活动2：甲图中到达斜面时水平位移和竖直位移有什么关系？
提示：由于＝tanθ，所以落到斜面的水平位移和竖直位移比值始终不变。 活动3：乙图中垂直到达斜面的水平速度和竖直速度有什么关系？
提示：由于＝tanθ，所以到达斜面的水平速度和竖直速度比值始终不变。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。 与斜面结合的平抛运动常见的两类情况
(1)顺着斜面抛：如图甲所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。结论有： ①到达斜面的速度方向与斜面夹角恒定；
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yxv0vy
高一物理平抛运动教案
