直线、平面垂直的判定与性质【知识梳理】
一、直线与平面垂直的判定与性质
1、
直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。如图，
直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面
垂直。
结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，
记作.
a//b???b?? a???（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即a??,b???a//b.
由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。
2、
直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和
平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是00的角。
3、
二面角的平面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l，那么两个面分别为?、?的二面角记作??l??.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面
角的大小；范围：00???1800.
二、平面与平面垂直的判定与性质
1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个
平面垂直.
2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则
面面垂直”，记作
l????????. l???3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作
?????I??l????m??.
m???m?l??【经典例题】
【例1】（2012浙江文）设l是直线,a,β是两个不同的平面
A．若l∥a,l∥β,则a∥β C．若a⊥β,l⊥a,则l⊥β
（ ）
B．若l∥a,l⊥β,则a⊥β D．若a⊥β,l∥a,则l⊥β
【答案】B
【解析】利用排除法可得选项B是正确的,∵l∥a,l⊥β,则a⊥β.如选项A:l∥a,l∥β时,a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,l⊥a,l∥β或l??;选项D:若若a⊥β,l⊥a,l∥β或l⊥β.
【例2】（2012四川文）下列命题正确的是
（ ）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【答案】C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,
也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故
D错;故选项C正确.
【例3】（2012山东）已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空
集．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②④
【答案】C
【解析】如图1，当直线m或直线n在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的
点为一条直线，从而选C. 【例4】（2012四川理）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的
中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是____________.
【答案】90o
【解析】方法一:连接D1M,易得DN⊥A1D1,DN⊥D1M,
所以,DN⊥平面A1MD1,
又A1M?平面A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夹角为90o
方法二:以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系D—xyz.
设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2)
故,DN? （0,2,1），MA（2，?1,2）1?MA1??所以,cos
|DN||MA1|【例5】（2012大纲理）三棱柱ABC?A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,?BAA1??CAA1?60?,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_____________.
【答案】
6 6uuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuur【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有AB1?AB?AA1,BC1?AC?AA1?AB,
uuur2uuuruuur2uuur2uuuruuuruuur2则|AB1|?(AB?AA1)?AB?2AB?AA1?AA1?2?2cos60??3
uuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuur而AB1?BC1?(AB?AA1)?(AC?AA1?AB)
【例6】（2011·福建）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面
AB1C，则线段EF的长度等于________．
【答案】
【解析】∵EF∥面AB1C，∴EF∥AC. 又E是AD的中点，∴F是DC的中点．
∴EF＝AC＝.
【例7】（2012年山东文）如图,几何体E?ABCD是四棱锥,△ABD为正三角
形,CB?CD,EC?BD.
（1）求证:BE?DE;
（2）若∠BCD?120?,M为线段AE的中点,
求证:DM∥平面BEC. 【解析】（1）设BD中点为O,连接OC,OE,则由BC?CD知CO?BD,
又已知CE?BD,所以BD?平面OCE.
所以BD?OE,即OE是BD的垂直平分线,所以BE?DE. （2）取AB中点N,连接MN,DN,∵M是AE的中点,∴MN∥BE,
∵△ABD是等边三角形,∴DN?AB.由∠BCD=120°
知,∠CBD=30°,
所以∠ABC=60°+30°=90°,即BC?AB,所以ND∥BC,
所以平面MND∥平面BEC,又DM?平面MND,故DM∥平面BEC. 另证:延长AD,BC相交于点F,连接EF.因为
CB=CD,?ABC?900.
因为△ABD为正三角形,所以?BAD?600,?ABC?900,则
?AFB?300,
所以AB?AF,又AB?AD,
所以D是线段AF的中点,连接DM, 又由点M是线段AE的中点知DM//EF,
12而DM?平面BEC,EF?平面BEC,故DM∥平面BEC.
【例8】（2011天津）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面ACM； （2）证明：AD⊥平面PAC；
（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
【解析】（1）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB?平面ACM，MO?
平面ACM，所以PB∥平面ACM.
（2）证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC，又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面
PAC.
（3）取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝，从而AN＝DO＝.在Rt△ANM
中，
tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为. 【例9】（2012湖南文）如图，在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是
等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
（1）证明:BD⊥PC;
（2）若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的
体积.
【解析】（1）因为PA?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA?BD. 又AC?BD,PA,AC是平面PAC内的两条相较直线,所以BD?平面PAC,
而PC?平面PAC,所以BD?PC.
（2）设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD?平面PAC, 所以?DPO是直线PD和平面PAC所成的角,从而?DPO?30o.
由BD?平面PAC,PO?平面PAC,知BD?PO. 在RtVPOD中,由?DPO?30o,得PD=2OD.
因为四边形ABCD为等腰梯形,AC?BD,所以VAOD,VBOC均为等腰直角三角形,
从而梯形ABCD的高为AD?BC??(4?2)?3,于是梯形ABCD面积
121212
线面垂直面面垂直知识点总结例题及解析高考题练习及答案第次补课
