关系得x1+x2=3 , x1x2=-6，代入即可求得的取值范围
解：根据题意，得，
所以为任意实数，方程都有两个不相等的实数根 ??? x1+x2=3，x1x2=-6，且， 二，解得>-1.
综上，的取值范围是>-1.
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系
.注意:
对于含参数的一元二次方程，已知两根关系求参数的范围 时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式
练1.【解析】根据根与系数的关系得出
x1+x2=2+1 ,
x1?x2=2+2，变形后代入即可得出关于的不等式，求出不等 式的解集即可.
解：???关于x的一元二次方程x2 - x+2+2=0有两个实数 根 x1 , x2 ,
??? x1+x2=2+1 , x1?x2=2+2, ??? x1?x2 - x12 - x22 > 0 成立，
??? x1?x2 -> 0, 即卩 x1?x2 - [2 - 2x1 ?x2] >0, ??? 2+2 - [2 - 2] > 0, /.<-或》1.
点评：本题考查了根与系数的关系的应用，解此题的关 键是能得出关于的不等式.
【例2】【解析】根据一元二次方程根的判别式的意义 得到42 - 4>0,然后解不等式即可；
根据根与系数的关系得 x1+x2=2 , x1x2=2 - 3,代入2- x1x2=26，计算即可求解.
解：根据题意，得△ =42 - 4>0, 解得》-2;
当》-2 时，x1+x2=2 , x1x2=2 - 3. 则 2 - x1x2=2 - 5x1x2=[2]2 - 5=26, 即 2- 8+7=0,
解得 1=1 >- 2, 2=7>- 2, 所以 1=1, 2=7.
点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 一元二次方程根的判别式.
练2.[解析】根据判别式的意义得到厶 =2 - 4X 2X> 0, 然后解不等式；
先根据根与系数的关系得 x1+x2=1 , x1?x2=,把
7+4x1x2 >X12+X22 变形得 7+6x1 ?x2>2,所以 7+6X> 1,解得〉-3, 于是得到的取值范围- 3VW-，由于为负整数，所以 =-2 或=-1，然后把的值分别代入原方程，再解方程.
解：根据题意得厶=2-4X 2X> 0, 解得<-;
根据题意得x1+x2=1 , x1?x2=, ??? 7+4x1x2 >x12+x22 ,
??? 7+6x1?x2 >2, ??? 7+6X> 1，解得〉-3, 「?- 3vw-, ???为负整数， ??? = - 2 或=-1,
当=-2时，方程变形为 2x2 - 2x - 1=0，解得x1 = , x2=; 当=-1时，方程变形为 x2 - x=0,解得x1=1, x2=0 . 点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0的根与△ =b2- 4ac有如下关系：当厶> 0时，方 程有两个不相等的两个实数根；
当厶=0时，方程有两个相等
的两个实数根；当△< 0时，方程无实数根.也考查了根与 系数的关系.
【例3】【解析】根据根与系数的关系得到 -1，再利用完全平方公式变形得到 的方法进行计算.
解：???实数a, b是方程x2 - x-仁0的两根， a+b=1, ab=- 1, ??? +=== - 3.
点评：本题考查了根与系数的关系：若
x1 , x2是一元
a+b=1, ab=
+==,然后利用整体代入
二次方程 ax2+bx+c=0 的两根时，x1+x2= -, x1x2=.
练3.【解析】由方程 x2+2x - =0有两个不相等的实数 根，
可以求出△> 0，由此可求出的取值范围；
欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的 形式，代入数值计算即可.
解：△ =4+4,
???方程有两个不等实根， ???△> 0,即卩 4+4>0
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由根与系数关系可知 a + B =-2,
a B =―,
? ?=
点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一 种经常使用的解题方法.
课后小测答案： 一、 选择题 B B
【解析】由已知得 x1+x2 = -3, x1 X x2 = - 3,贝? 原式===—5. 故选B.
点评：本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应 用，同时也考查了代数式变形、求值的方法.
二、 填空题
.【解析】首先根据根与系数的关系求出 x1+x2=5 , x1x2= -1，然后把X12+X22转化为x12+x22=2 - 2x1x2，最后整体 代值计算.
解：I x1、x2是一元二次方程 x2 - 5x -仁0的两实数根， ??? x1+x2=5 , x1x2= - 1,
??? x12+x22=2 - 2x1x2=25+2=27 , 故答案为：27. 点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本 题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数 的关系，此题难度不大.
【解析】将x=1代入到x2+ax+b=0中求得a+b的值，然 后求代数式的值即可.
解：??? x=1是一元二次方程 x2+ax+b=0的一个根， ?- 12+a+b=0, ?- a+b= — 1, ? a2+b2+2ab=2=2=1. 故答案为：1 .
点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键 是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可 求得代数式的值.
【解析】由于，n是两个不相等的实数，且满足 2 - =3, n2 - n=3,可知，n是x2 - x - 3=0的两个不相等的实数根. 则 根据根与系数的关系可知： +n=2, n= - 3，又n2=n+3,利用 它们可以化
一元二次方程根与系数的关系(2)导学案(新版新人教版)[工作范文]
