数据模型与决策课程案例一 生产战略
一、问题提出
好身体公司（BFI）在长岛自由港工厂生产健身练习器械。最近他们设计了两种针对家庭锻炼所广泛使用的举重机。两种机器都是用了BFI专利技术，这种技术提供给使用者除了机器本身运动功能之外的一些其他额外的运动功能。直到现在，这种功能也只有在很昂贵的、应用于理疗的举重机上才可以获得。
在最近的交易展销会上，举重机的现场演示引起了交易者浓厚的兴趣，实际上，BFI现在收到的订单数量已经超过了这个时期BFI的生产能力。管理部门决定开始这两种器械的生产。这两种器械分别被BFI 公司命名为BodyPlus100和BodyPlus200，由不同的原材料生产而成。 BodyPlus100由一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置组成。生产一个框架需要4小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间；每个压力装置需要2小时机器制造和焊接时间，1小时喷涂和完工时间，每个提升一下拉装置需要2小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间。另外，每个BodyPlus100还需要2小时用来组装、测试和包装。每个框架的原材料成本是450美元，每个压力装置的成本是300美元，每个提升一下拉装置是250美元。包装成本大约是每单位50美元。
BodyPlus200包括一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置和一个腿部拉伸装置。生产一个框架需要5小时机器制造和焊接时间，4小时喷涂和完工时间；生产一个压力装置需要3小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间；生产每个提升一下拉装置需要2小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间，另外，每个BodyPlus200还需要2小时用来组装、测试和包装。每个框架的原材料成本是650美元，每个压力装置的成本是400美元，每个提升一下拉装置是250美元，每个腿部拉伸装置的成本是200美元。包装成本大约是每单位75美元。 在下一个生产周期，管理部门估计有600小时机器和焊接时间，450小时喷涂和完工时间，140小时组装、测试和包装时间是可用的。现在的每小时劳动力成本是机器制造和焊接时间20美元，喷涂和完工时间15美元，组装、测试和包装12美元。虽然对于BFI来说由于新机器的独特功能可能还会获得一些价格的灵活性，但BodyPlus100的市场建议价格是2400美元，BodyPlus200是3500美元。授权的BFI销售商可以以市场价格的70%来购买产品。
BFI的总裁相信BodyPlus200 的独特功能可以帮助BFI 成为高端锻炼器械的领导者。所以，他认为BodyPlus200的数量至少会占到整个生产数量的25%。 管理报告
分析BFI的生产问题，为公司的总裁准备一份报告，告诉他们你的发现和建议。报告包括以下几个方面（不仅于此）：
（1）BodyPlus100和BodyPlus200的建议生产数量是多少？
（2）BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？ （3）为了增加利润应扩展哪方面的努力？
把你的线性规划模型和图形解作为你报告的附录部分。
二、问题分析与模型建立
根据案例对好身体公司（BFI）两种器械产品BodyPlus100和BodyPlus200的描述，- 1 -
用表格形式列举出该两种产品的各项基本信息，表格如下： 产品 原材料成本（美元） 零件BodyPlus100
BodyPlus200 BodyPlus200 BodyPlus100
650 450 4 5 框架 4 2 400 压力装置 1 300 2 3 2 250 2
250 下拉 2 2 2 提升/ 组装 2 2
200 腿拉 75 50 包装
10 5 8 (h) 总共用时 8 1575 1050
) 总成本(美元20 600 (h机器/焊接） 劳动成本15 完工(h) 450 喷涂//h) 美元(12 140
(h) 组、测、包3500 2400 )
售价(美元1.1
表（1）BodyPlus100
和BodyPlus200的建议生产数量是多少？
设BodyPlus100的建议生产数量是x1，BodyPlus200的建议生产数量是x2,总利润是Z，则目标函数：maxz=2400x1+3500x2—20(8x1+10x2)—15(5x1+8x2)—12(2x1+2x2) =2141x1+3156x2 约束条件： 8x1+10x2 ≤ 600
5x1+8x2 ≤450 2x1+2x2 ≤140 x1，x2 ≥ 0
（2）BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？
设BodyPlus100的建议生产数量是x1，BodyPlus200的建议生产数量是x2,总利润是Z，则 目标函数：maxz=2400x1+3500x2—20(8x1+10x2)—15(5x1+8x2)—12(2x1+2x2) =2141x1+3156x2 约束条件： 8x1+10x2 ≤ 600
5x1+8x2 ≤450 2x1+2x2 ≤140 x1 -3x2 ≤0 x1，x2 ≥ 0
三、模型求解与结果解释
根据已经建立的模型，运用图解法对该问题进行求解。建立直角坐标系，用横轴代表x1，纵轴代表x2。
（1）BodyPlus100和BodyPlus200的建议生产数量是多少？
根据问题（1）约束条件：
作8x1+10x2 = 600直线，令x1=0，则x2=60；令x2=0，则x1=75 同理，作5x1+8x2=450， 2x1+2x2=140两直线 得图形如下：
- 2 -
X2
180
140 2x1+2x2=135 90 45 O
X1
135 180 45 90
600
=8x1+10x2 4505x1+8x2= 1.1 图
由图可知，阴影部分即为可行域范围， maxz=181135.7
z最大，此时且当 x1=150/7，y=300/7时，y=300/7
x1=150/7，可得最优解为： 台。台，生产综上所述，建议生产BodyPlus100产品21BodyPlus200产品43 该生产建议下各项约束条件情况如下：可用时间 耗费时间 约束条件600 598 ） ≤/机器焊接(h450 (h) 喷涂/完工449 ≤ 140 128
组、测、包(h) ≤1.2 表
（2）BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？
根据问题（2）的约束条件，即在问题（1）的基础上增加 x1-3x2 ≤0这一项约束条件。 因此，我们在图1.1的基础上增加x1-3x2 =0直线， 令x1=0，则x2=0；令x1=90，则x2=30 得到图形如下：
由图可知，阴影部分即为可行域范围。对比图1.1和图1.2可行域范围明显减小。
当由此约束条件的情况下，当x1=150/7，y=300/7时，z最大，此时maxz=181135.7
- 3 -
可得最优解为：x1=150/7，y=300/7
此时的建议生产量仍为BodyPlus100产品21台，生产BodyPlus200产品42台。 综上所述，有BodyPlus200的产量比例约束时最大利润无影响。
（3）为了增加利润应扩展哪方面的努力？
根据表1.2，在最优解情况下各项约束条件情况来看，可以得出如下结论： 1. 机器/焊接所用时间仅比可用时间少2小时； 2. 喷涂/完工所用时间仅比可用时间少1小时；
3. 组、测、包所用时间比可用时间少12个小时，在其他条件允许的情况下可以再组装6台器械。 针对上述结论，为增加利润提出如下建议： 1. 增加机器制造和焊接时间的可用时间； 2. 增加喷涂和完工的可用时间。
四、参考文献
[1] 侯文华等译，数据、模型与决策：管理科学篇．北京：机械工业出版社，2012
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投资战略 数据模型与决策课程案例二
一、问题提出亿美元的资金。 1.2 J.D.威廉姆斯公司是一个投资质询公司，为大量的客户管理高达收入基金为每个客户安排投资，分别投资在股票增长基金、公司运用一个很有价值的模型，一般来为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。和货币市场基金。 20%-40%之间，投资在收入基金上的资金应确保在说，投资在股票方面的资金占总投资 30%。20%-50%之间，货币市场方面的投资至少应该占威廉公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以迎合不同投资者的需求。比如，此外，美元。对其风险承受能力进行评估得出其风险指数为姆斯的一位新客户希望投资800000
，收入基金的风险指数是。公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险指数是0.100.05。整个投资的风险指数是各项投资所占总投资的百分率，货币市场的风险指数是0.010.07 与其风险指数乘积的代数和。，货币市场基，收入基金的收益是12.5% 此外公司预测，股票基金的年收益率是18%
。现在，基于以上信息，公司应该如何安排这位客户的投资呢？建立数字金的收益是7.5% 模型，求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。 管理报告
种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？800 000美元投资于这3（ 1）如何将，那么在投资计划更改后，收益将增加多0.055（2）假设客户的风险承受指数提高到
少？18%，而股票成长基金的年收益率从3）假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05 （ ，那新的最佳投资方案是什么？下降到14%）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资4 （
于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作5 （
出修改，那么这个模型的适用范围是什么？ 二、问题分析与模型建立威廉姆斯公司三种基金股票增长基金、收入基金和货币市场基金的描J.D.根据案例对 述，用表格形式列举出三种基金的各项基本信息，表格如下： 总投资额 总风险指数 投资限额 年收益率基金类型 风险指数20%-40% 18% 股票基金
0.10
20%-50% 12.5% 收入基金0.07 0.05 800000 30% 7.5% ≥0.01 货币基金
（1）如何将800 000美元投资于这3种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？ 设三种投资基金的数量分配分别为x1，x2，x3（单位为百万），投资的年收益为z，则目标函数maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3 约束条件： x1+x2+x3≤0.8 0.16≤x1≤0.32 0.16≤x2≤0.4
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0.24
≥ x3
0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05
，那么在投资计划更改后，收益将增加多）假设客户的风险承受指数提高到 （20.055
少？x2，
maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3 目标函数 x1+x2+x3 ≤ 0.8 约束条件： 0.16≤x1≤0.32 0.16≤x2≤0.4 x3≥0.24
0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.055
（3）假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05，而股票成长基金的年收益率从18%
则x3（单位为百万），投资的年收益为z 设三种投资基金的数量分配分别为x1， ，
下降到14%，那新的最佳投资方案是什么？
设三种投资基金的数量分配分别为x1，x2，x3（单位为百万），投资的年收益为z，则目标函数maxz=0.14x1+0.125x2+0.075x3 约束条件： x1+x2+x3≤0.8 0.16≤x1≤0.32 0.16≤x2≤0.4 x3≥0.24
0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05
（4）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资
于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？
设三种投资基金的数量分配分别为x1，x2，x3（单位为百万），投资的年收益为z，则目标函数maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3
约束条件： x1+x2+x3≤0.8 0.16≤x1≤0.32 0.16≤x2≤0.4 x3≥0.24 x1≤x2
0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05
（5）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作出
修改，那么这个模型的适用范围是什么？
对目标函数的系数进行敏感度分析，确定当最优解不变时的预期收益率的范围。
根据该问题的描述，可以理解为当预期收益率在一定范围内变化时，最佳投资方案是否改变，即因此可基于问题（1）的模型，运用LINGO软件对其作敏感度分析，求解出该模型适用的范围。 设三种投资基金的数量分配分别为x1，x2，x3（单位为百万），投资的年收益为z，则- 6 -
maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3 目标函数
x1+x2+x3≤0.8 约束条件： 0.16≤x1≤0.32 0.16≤x2≤0.4 x3≥0.24
0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05
三、模型求解与结果解释
（1）如何将800 000美元投资于这3种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？ 根据问题（1）的约束条件，利用LINGO软件对（1）的模型求解可得：
根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为货币基基金类股票基收入基0.391 0.249
投资额（万美元0.16
即x1=0.24x2=0.1x3=0.39时最大，maxz=0.941（万美元
（2）假设客户的风险承受指数提高到0.055，那么在投资计划更改后，收益将增加多- 7 -
少？ 2）的模型求解可得：根据问题（2）的约束条件，利用LINGO软件对（
根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为： 货币基金 基金类型股票基金 收入基金 0.347 0.293
投资额（万美元） 0.16
（万美元）z最大，满maxz=0.988时，，即当x1=0.293x2=0.16，x3=0.347
18%0.05，而股票成长基金的年收益率从3（）假设客户的风险承受指数不变，仍然是 ，那新的最佳投资方案是什么？下降到14% 3LINGO3根据问题（）的约束条件，利用软件对（）的模型求解可得：- 8 -
根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为： 股票基金 收入基金 货币基金基金类型0.347
投资额（万美元） 0.293 0.16
最大，满maxz=0.8507（万美元）x3=0.347x1=0.16即当，x2=0.293，时，z
）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资4（ 于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？ 4LINGO4根据问题（）的约束条件，利用软件对（）的模型求解可得：- 9 -
根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为： 股票基金货币基金 收入基金
基金类型0.373 0.213
投资额（万美元） 0.213
最大，满maxz=0.9307（万美元）x3=0.373x1=0.213即当，x2=0.213，时，z
）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作5（ 出修改，那么这个模型的适用范围是什么？ RANGELINGO5根据问题（）的约束条件，利用软件对该模型进行操作可得：- 10 -
根据软件运行结果可知，该条件下三种基金的年收益范围为： 允许减少量允许增加量当年年收益率 基金类型
0.03 +∽股票基金 0.18 -0.125 收入基金 ∽0.02 0.06 0.105 货币基金 0.75
通过以上适用范围可得该模型的适用范围为： 基金类型货币基金 股票基金 收入基金 0.015-0.18
投资额（万美元）∽0.15-+ -∽-0.145
即股票基金的允许范围需要收入基金和货币注：各系数的允许范围需要其他系数不变， 0.75。0.125基金的收益分别为和
四、参考文献2012 [1] 侯文华等译，数据、模型与决策：管理科学篇．北京：机械工业出版社， 软件．北京：清华大学出版社，谢金星，薛毅，优化建模与[2] LINDO/LINGO2005
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大数据模型与决策课程案例分析实施报告
