3.2一元二次不等式及其解法
【课题】3.2.2 一元二次不等式及其解法 【教学目标】
1、 知识与技能目标：
（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可转化为一元一次不等式组；
（3）会利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，并理解它们三者之间的内在联系； 2 、过程与方法目标：
通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式，向学生渗透数形结合、等价转换、函数与方程等基本数学思想；
3 、情感、态度与价值观目标：
通过研究函数、方程与不等式三者的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证唯物观。．
【教学重点】重点是一元二次不等式的解法．
【教学难点】弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系． 【课前准备】课件． 【教学过程设计】 教学环节 （—）复习提问 上节课我们只讨论了二次项系数a?0的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问，二次项系数a?0的一元二次不等式如何来求解？咱们班上有谁能解答这个疑问呢？． (二) 探索与研究 （学生议论纷纷．有的说仍然利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，……．教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解．） 创设情景 生1：只要将课本第87页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线，再根据可得的图像便可求得二次项系数a?0的一元二次不等式的解集． 生2：我觉得先在不等式两边同乘以－1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了． 师：这两种见解都是合乎逻辑且可行的．不过按前一见解来操作的话，同学们则需再记住一张类似于第87页上的表格中的结论．这不但加重了记忆负担，而且两表中的结论容易混淆导致错误，按后一种见解来操作时则不存在这个问题. 教学活动 设计意图 [训练一] 求解二次项系数a?0的一元二次不等式 对于二次项系数a?0的一元二次不等式是将其通过同解变形化为a?0的一元二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一节课所学过的方法。我们就能求解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式． （1）14?4x?x （2）?x?2x?8?0 [训练二] 可化为一元一次不等式组来求解的不等式 目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦．故在求解形如(x?a)(x?b)?0（或?0）的一元二次不等式时则根据（有理数）乘（除）运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解．现在请同学们解不等式(x?4)(x?1)?0 问题反馈探练习 究 22通过练习，引导学生总结解题的一般步骤和基本思路。让学生在探讨问题的过程中，感受数学的美学价值。 【解】因为满足不等式组??x?4?0?x?4?0或?的x都能使原不等式?x?1?0?x?1?0(x?4)(x?1)?0成立，反过来不等式(x?4)(x?1)?0的x满足不等式组?x?4?0?x?4?0或?，故原不等式的解集是两个一元一次不等式组解集的并??x?1?0?x?1?0集． 这个解答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们相等，现在请同学们求解以下各不等式． （1）(x?2)(x?3)?0 （2）x(x?2)?0 （3）(x?a)(x?b)?0(a?b) 例5 解不等式x?3?0 x?7因为（有理数）积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像求解(x?a)(x?b)?0（或?0）之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解。解：略 [训练三] 用“符号法则”解不等式的变式训练 1．不等式x?1?0与(x?1)(x?2)?0的解集相同。此说法对吗,为什么? x?22．解下列不等式： （1）2x?153x?2?0 （2）?1 5x?22x2 （3）(x?1)(x?3x?2)?0 （4）x?1?0 (x?2)(x?3)?x2?21?? （5）x?22（每题均先由学生说出解题思路，教师简要板书求解过程） 参考答案： 1．不对。当x??2时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。 2．（1）?x?深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，培养学生探究解决问题的方法、思路与策略，提高学生应用所学知识解决问题的能力。 ??515??x?? 22?3x?2x?2?0，即?0, 解集为xx?0或x?2。 2x2x （2）原不等式可化为：???(x?1)2?0（3）原不等式可化为(x?1)(x?2)?0??, 解集为x?2?0?2?xx?2但x?1? ?x?1?0?x?1?0（4）原不等式可化为?或?, 解集为(x?2)(x?3)?0(x?2)(x?3)?0???x1?x?2或x?3? (5)原不等式可化为： ?2x2?x?6?0x2?212x2?x?6??0??0?? x?222(x?2)?x?2?0?2x2?x?6?0(分母?0!), 解集为?xx?2? 或??x?2?0 采用师生互动形式完成： 这节课我们重点讲解了利用（有理数）乘除法的符号法则求解左式为若干个课堂小结 一次因式的积或商而右式为0的不等式。值得注意的是，这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的，同学们应掌握好这一方法。 通过学生的主体参与，加深学生对解不等式的方法的掌握。 五） 课外巩固作业 作业布置 （P91 B组 1 ） 巩固学生对本节学习内容的理解和掌握。 练习： 1.不等式
x（x?2）＜0的解集为
x?3A.{x|x＜－2或0＜x＜3} B.{x|－2＜x＜0或x＞3} C.{x|x＜－2或x＞0} D.{x|x＜0或x＞3}
-2 0 解析：在数轴上标出各根.
3
答案：A
2. 下列不等式中与lg(x?2)?0同解的是 （A）(x?3)(2?x)?0 （C）
（B）
x?3?0 2?x2?x?0 （D）(x?3)(2?x)?0 x?3解析：lg(x?2)?0的解是2 (x?3)(2?x)?0的解是2≤x≤3 x?3?0的解是2 答案.B 3．解不等式 5?xx?2x?32＜－1. 解析：原不等式变为x2?3x?25?xx2?2x?3＋1＜0， 22??x?3x?2?0，??x?3x?2?0即2＜0??或??－1＜x＜1或2＜x＜3. 22x?2x?3??x?2x?3?0??x?2x?3?0∴原不等式的解集是｛x｜－1＜x＜1或2＜x＜3｝. 答案：原不等式的解集是｛x｜－1＜x＜1或2＜x＜3｝. 4.不等式x+ 2＞2的解集是 x?1A.（－1，0）∪（1，+∞） B.（－∞，－1）∪（0，1） C.（－1，0）∪（0，1） 解法一：x+＞1. 解法二：验证，x=－2、答案：A D.（－∞，－1）∪（1，+∞） 22x（x?1）＞2?x－2+＞0?＞0?x（x－1）（x+1）＞0?－1＜x＜0或xx?1x?1x?11不满足不等式，排除B、C、D. 2x?0，则不等式x+（x+2）·f（x+2）≤5的解集是____________. x?0.?15.（2004年浙江，13）已知f（x）=???1解析：当x+2≥0，即x≥－2时. x+（x+2）f（x+2）≤5 ?2x+2≤5?x≤ 3. 23. 2当x+2＜0即x＜－2时，x+（x+2）f（x+2）≤5 ?x+（x+2）·（－1）≤5?－2≤5， ∴x＜－2. ∴－2≤x≤综上x≤ 3. 23］ 2答案：（－∞， 6.不等式(x?4)x2?3x?4?0的解集是____________． 13. {－1}?[4，??) ?x?4?0?或x??1 [解析]：(x?4)x?3x?4?0?2?x?3x?4?0 ∴x??1或x?4 答案：原不等式的解集是｛x｜x??1或x?4｝. 2
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