E单元 不等式
E1 不等式的概念与性质
2．E1[2013·北京卷] 设a，b，c∈R，且a>b，则( ) 11
A．ac>bc B.ab2 D．a3>b3
2．D [解析] ∵函数y＝x3在R上是增函数，a>b， ∴a3>b3.
8．B7，E1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( ) A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b
log25－log2311
8．D [解析] a－b＝log32－log52＝log23－log25＝log23log25>0
a>b，c＝log23>1，
a<1，b<1，所以c>a>b，答案为D.
15．C6、E1和E3[2013·重庆卷] 设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．
?π??5π?
2???15.??0，6?∪?6，π? [解析] 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sin α)－4×8cos 2α≤
1
0，即2sin α－cos 2α≤0，转化为2sin α－(1－2sin α)≤0，即4sinα≤1，即－2≤sin
2
2
2
2
?π??5π?1
???α≤2.因为0≤α≤π，故α∈??0，6?∪?6，π?.
10．E1、H6和H8[2013·重庆卷] 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点
O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
?2 3??2 3????A.?3，2? B.??3，2? ?2 3??2 3????C.?3，＋∞? D.??3，＋∞?
b
10．A [解析] 设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率a必须3b1?b?242?b?2
满足3 率为e＝a＝ ?b?2 1＋?a?≤2.又双曲线的离心 2?b?2 1＋?a?，所以3 3 E2 绝对值不等式的解法 4．E2[2013·全国卷] 不等式|x2－2|<2的解集是( ) A．(－1，1) B．(－2，2) C．(－1，0)∪(0，1) D．(－2，0)∪(0，2) 4．D [解析] |x2－2|<2等价于－2 E3 一元二次不等式的解法 20．E3，B12[2013· 安徽卷] 设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)； (2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值． 20．解：(1)因为方程ax－(1＋a)x＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝1a2， ＋故f(x)>0的解集为{x|x1 a 1－a2 a a 2 2 a (2)设d(a)＝1a2，则d′(a)＝1a22，令d′(a)＝0，得a＝1，由于0 ＋（＋）当1－k≤a<1时，d′(a)>0，d(a)单调递增； 当1 因此当1－k≤a≤1＋k时，d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得． 1－k d（1－k） 1＋（1－k）2 2－k2－k3而d（1＋k）＝＝2－k2＋k3<1，故d(1－k) 1＋（1＋k）2 1－k 因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k，1＋k]上取得最小值2－2k＋k2. 111．B1，E3[2013·安徽卷] 函数y＝ln1＋x＋ 1－x2的定义域为________． x＋111 11．(0，1] [解析] 实数x满足1＋x>0且1－x2≥0.不等式1＋x>0，即x>0，解得x>0或x<－1；不等式1－x2≥0的解为－1≤x≤1.故所求函数的定义域是(0，1]． 15．C6、E1和E3[2013·重庆卷] 设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对 x∈R恒成立，则α的取值范围为________． ?π??5π? 2???15.??0，6?∪?6，π? [解析] 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sin α)－4×8cos 2α≤ 1 0，即2sin α－cos 2α≤0，转化为2sin α－(1－2sin α)≤0，即4sinα≤1，即－2≤sin 2 2 2 2 ?π??5π?1 ???α≤2.因为0≤α≤π，故α∈??0，6?∪?6，π?. 7．E3[2013·重庆卷] 关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1 ＝15，则a＝( ) 571515A.2 B.2 C.4 D.2 7．A [解析] 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝5 －8a，由(x2－x1)＝(x1＋x2)－4x1x2＝(2a)－4×(－8a)＝36a＝15，解得a＝2(负值舍去)， 2 2 2 2 2 2 2 故选A. E4 简单的一元高次不等式的解法 x＋2y≤8，?? x，y满足约束条件?0≤x≤4，则 ??0≤y≤3， 13．E4[2013·湖南卷] 若变量x＋y的最大值为 ________． 13．6 [解析] 根据题意，画出x，y满足的可行域，如图， 可知在点B(4，2)处x＋y取最大值为6. 1 6．E4[2013·江西卷] 下列选项中，使不等式x 6．A [解析] x－x<0 x2－1x<0 1 x<－1或0 2 x<0或x>1，求交集 得x<－1，故选A. ??1≤x≤3， 14．E4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设x，y满足约束条件?则z＝2x－y的 1xy0≤≤－－，?? 最大值为________． 14．3 [解析] 点(x，y)是平面内平行线x＝1，x＝3与平行线x－y＝－1，x－y＝0围成的平行四边形区域，区域的四个顶点坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，4)，(3，3)，分别代入得z＝0，1，2，3，所以z＝2x－y的最大值为3. E5 简单的线性规划问题 3x＋y－6≥0，?? 2．E5[2013·天津卷] 设变量x，y满足约束条件?x－y－2≤0，则目标函数z＝y－2x ??y－3≤0，的最小值为( ) A．－7 B．－4 C．1 D．2 2．A [解析] 可行域如图： ??y＝3，联立?得A(5，3)，当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值 ?x－y－2＝0，? z＝3－2×5＝－7. ??2y－x≤4，8．y满足约束条件?E5[2013·四川卷] 若变量x，且z＝5y－x的最大值为a， x≥0，??y≥0， 最小值为b，则a－b的值是( ) A．48 B．30 C．24 D．16 x＋y≤8， 8．C [解析] 画出约束条件表示的可行域，如图， 1 由于目标函数z＝5y－x的斜率为5，可知在点A(8，0)处，z取得最小值b＝－8，在点B(4，4)处，z取得最大值a＝16.故a－b＝24. 7．E5[2013·陕西卷] 若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是( ) A．－6 B．－2 C．0 D．2 7．A [解析] 结合题目可以作出y＝∣x∣与y＝2所表示的平面区域，令2x－y＝z，即y＝2x－z，作出直线y＝2x，在封闭区域内平移直线y＝2x，当经过点A(－2，2)时，z取最小值，为2×(－2)－2＝－6. ?2x＋3y－6≤0， 14．E5[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组?x＋y－2≥0，所表 ?y≥0 示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________． 14.2 [解析] 可行域如图，当OM垂直于直线x＋y－2＝0时，|OM|最小，故|OM|＝|0＋0－2| ＝2. 1＋1 图1－5 x－y＋1≥0，?? 3．E5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设x，y满足约束条件?x＋y－1≥0，则z＝2x－3y的最 ??x≤3，小值是( ) A．－7 B．－6 C．－5 D．－3 3．B [解析] 画出可行域如图△ABC，易得A(3，－2)，B(3，4)，C(0，1)，作出直线2 y＝3x，平移易知直线过B点时直线在y轴上的截距最大，此时z最小．故选B.
2013高考数学(文)真题模拟新题分类汇编—e单元 不等式(精)
