2019年离散数学网络课程形成性考核第2次形考任务

★ 形成性考核作业 ★

离散数学作业2

姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学集合论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业．

要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：

1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．

2. 在线提交word文档

3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

一、填空题

1．设集合A?{1,2,3},B?{1,2}，则P(A)-P(B )= {{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}} ，A? B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．

2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ．

3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，

R?{?x,y?x?A且y?B且x,y?A?B} 则R的有序对集合为 的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>} ．

4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}， A到B的二元关系

R＝{?x,y?y?2x,x?A,y?B} 那么R－1＝ {<6,3>,<8,4>} ． 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={, , , }，则R具有的性质是 反自反性 ．

6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={, , , }，若在R中再增加两个元素 , ，则新得到的关系就具有对称性． 7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．

8．设A={1, 2}上的二元关系为R={|x?A，y?A, x+y =10}，则R的自反闭包为 {<1,1>,<2,2>} ．

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9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含 <1,1>,<2,2>,<3,3> 等元素．

10．设A={1，2}，B={a，b}，C={3，4，5}，从A到B的函数f ={<1, a>, <2, b>}，从B到C的函数g={< a，4>, < b，3>}，则Ran(g? f)= {<1,a>,<2,b>}或{<1,b>,<2,a>} ．

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则 (1) R是自反的关系； (2) R是对称的关系．

答：(1) 结论不成立。

因为关系R要成为自反的，其中缺少元素<3, 3>。 (2) 结论不成立。

因为关系R中缺少元素<2, 1>。

2．设A={1，2，3}，R={<1，1>, <2，2>, <1，2> ，<2，1>}，则R是等价关系．

答：错误。因为3是A的一个元素， 但 <3,3>不在关系R中。等价关系R必须有： 对A中任意元素a, R含。

a

? 3．若偏序集的哈斯图如图一所示，

b ? 则集合A的最大元为a，最小元不存在． ? c ? g

答：错误，按照定义，图中不存在最大元和最小元。

d ? ? h

? f e ?

图一

4．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f是否构成函数f：A?B，并说明理由．

(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2) f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}； (3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．

答：(1) 不构成函数，因为它的定义域Dom(f)≠A。

(2) 也不构成函数，因为它的定义域Dom(f)≠A。

(3) 构成函数，首先它的定义域Dom(f) ={1, 2, 3, 4}= A，其次对于A中的每一个元素a，在B中都有一个唯一的元素b，使?f。

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三、计算题

1．设E?{1,2,3,4,5},A?{1,4},B?{1,2,5},C?{2,4}，求：

(1) (A?B)?~C； (2) (A?B)- (B?A) (3) P(A)－P(C)； (4) A?B．

解：(1) (A?B)?~C={1}?{1,3,5}={1,3,5}

(2) (A?B)- (B?A)={1,2,4,5}-{1}={2,4,5} (3) P(A) ={Φ,{1},{4},{1,4}} P(C)={ Φ,{2},{4},{2,4}} P(A)－P(C)={{1},{1,4}}

(4) A?B= (A?B)- (B?A)= {2,4,5}

2．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算

（1）（A?B）； （2）（A∩B）； （3）A×B．

解：(1) （A?B）={{1},{2}}

(2) （A∩B）={1,2} (3) A×B

{<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2 }>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2 }>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2 }>,<2,1>,<2,2>,<2,{1,2 }>}

3．设A={1，2，3，4，5}，R={|x?A，y?A且x+y?4}，S={|x?A，y?A且x+y<0}，试求R，S，R?S，S?R，R-1，S-1，r(S)，s(R)．

解：

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} S=Φ R?S=Φ S?R=Φ

R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2>,<2,2>,<1,3>} S-1=Φ

r(S)= {<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

s(R)= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

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4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．

(1) 写出关系R的表示式； (2 )画出关系R的哈斯图； (3) 求出集合B的最大元、最小元．

解:(1)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>} (2)

8

4 6

2 7 3

5 1 关系R的哈斯图

(3) 集合B没有最大元，最小元是2

四、证明题

1．试证明集合等式：A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)． 证明：设，若x∈A? (B?C)，则x∈A或x∈B?C， 即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C。 即x∈A?B 且 x∈A?C， 即x∈T=(A?B) ? (A?C)，

所以A? (B?C)? (A?B) ? (A?C)。

反之，若x∈(A?B) ? (A?C)，则x∈A?B 且 x∈A?C，

即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C， 即x∈A或x∈B?C， 即x∈A? (B?C)，

所以(A?B) ? (A?C)? A? (B?C)。 因此．A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)。

2．试证明集合等式A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．

证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)， 若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C，

也即x∈A∩B 或 x∈A∩C ，即 x∈T，所以S?T． 反之，若x∈T，则x∈A∩B 或 x∈A∩C， 即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C

也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以T?S． 因此T=S．

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3．对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且AC．

证明：设x ?A，y ?B，则?A?B，

因为A?B = A?C，故? A?C，则有y?C， 所以B ? C．

，则B =

设x?A，z?C，则?A?C，

因为A?B = A?C，故?A?B，则有z?B，所以C ? B． 故得A=B．

4．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．

证明：R1和R2是自反的，?x ?A， ? R1， ?R2，则 ? R1

∩R2， 所以R1∩R2是自反的．

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