重点强化训练(一) 函数的图象与性质
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－2)＝( )
【导学号：31222065】
1
A．－
2C．2
1B. 2D．－2
1
B [因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log22＝2.]
2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 C．1
B．－1 D．3
C [用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.]
1
3．函数f(x)＝3x＋2x－2的零点所在的一个区间是( ) A．(－2，－1) C．(0,1)
B．(－1,0) D．(1,2)
C [因为函数f(x)在定义域上单调递增， 又
262－f(－2)＝3－1－2＝－＜0，
9
113
f(－1)＝3－1－2－2＝－6＜0， f(0)＝30＋0－2＝－1＜0，
13
f(1)＝3＋2－2＝2＞0，所以f(0)f(1)＜0，
1
所以函数f(x)的零点所在区间是(0,1)．]
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若4．
实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
【导学号：31222066】
A．[1,2] ?1?C.?2，2? ??
1??
B.?0，2? ??D．(0,2]
C [∵f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.∵f(x)是偶函数，∴1
f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴2≤a≤1.12
综上可知≤a≤2.]
5．(2017·陕西质检(二))若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，?x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有
f?x2?－f?x1?
＜0，则( )
x2－x1
B．f(1)＜f(－2)＜f(3) D．f(3)＜f(－2)＜f(1)
A．f(3)＜f(1)＜f(－2) C．f(－2)＜f(1)＜f(3)
f?x2?－f?x1?
D [由对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，＜0得函数f(x)为[0，＋∞)
x2－x1上的减函数，又因为函数f(x)为偶函数，所以f(3)＜f(2)＝f(－2)＜f(1)，故选D.]
二、填空题
6．函数y＝f(x)在x∈[－2,2]上的图象如图2所示，则当x∈[－2,2]时，f(x)＋f(－x)＝________.
【导学号：31222067】
2
图2
0 [由题图可知，函数f(x)为奇函数， 所以f(x)＋f(－x)＝0.]
7．若函数y＝log2(ax2＋2x＋1)的值域为R，则a的取值范围为________． [0,1] [设f(x)＝ax2＋2x＋1，由题意知，f(x)取遍所有的正实数．当a＝0时，??a＞0，
f(x)＝2x＋1符合条件；当a≠0时，则?解得0＜a≤1，
??Δ＝4－4a≥0，
所以0≤a≤1.]
8．(2017·银川质检)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝0，则满足f(x－1)＜0的x的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x∈(1，＋∞)时，f(x－1)＜0＝f(2)的解集为x＜3，即1＜x＜3；当x∈(－∞，1)时，f(x－1)＜0＝f(－2)的解集为x＜－1，即x＜－1.综上所述，满足f(x－1)＜0的x的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x，当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解，两个解？ [解] 令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示.3分
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；9分
当0＜m＜2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解.12分 10．函数f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f(x)的解析式；
3
(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值． ???f?8?＝2，?m＋loga8＝2，
[解] (1)由?得?3分
???f?1?＝－1，?m＋loga1＝－1，解得m＝－1，a＝2，
故函数解析式为f(x)＝－1＋log2x.5分 (2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)
＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)] x2＝log2－1(x＞1).7分
x－1
?x－1?2＋2?x－1?＋1x21
∵＝＝(x－1)＋＋2≥2x－1x－1x－1
1
?x－1?·＋2＝4.
x－1
9分
当且仅当x－1＝
1
，即x＝2时，等号成立． x－1
而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， x2
则log2－1≥log24－1＝1，
x－1
故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.12分
B组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2017·东北三省四市二联)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，??1??
?f?ln x?－f?lnx??????
＋∞)上是增函数，则不等式＜f(1)的解集为( )
2
1??0，A.? e????1?C.?e，e? ??
B．(0，e) D．(e，＋∞)
4
??1???f?ln x?－f?lnx???????1?C [f(x)为R上的奇函数，则f?lnx?＝f(－ln x)＝－f(ln x)，所以
2??|f?ln x?＋f?ln x?|
＝＝|f(ln x)|，即原不等式可化为|f(ln x)|＜f(1)，所以－f(1)＜f(ln x)
2＜f(1)，即f(－1)＜f(ln x)＜f(1)．又由已知可得f(x)在R上单调递增，所以－1＜ln 1
x＜1，解得e＜x＜e，故选C.]
2．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 019)的值为________．
【导学号：31222068】
0 [g(－x)＝f(－x－1)，由f(x)，g(x)分别是偶函数与奇函数，得g(x)＝－f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，则
f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)＝g(0)＝0.]
3．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． [解] (1)∵对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)， ∴f(1)＝0.3分 (2)f(x)为偶函数.4分 证明如下：令x1＝x2＝－1， 有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
5
1
∴f(－1)＝2f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数.7分
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函数， ∴f(x－1)<2?f(|x－1|) 解得－15 ∴x的取值范围是{x|－15 6
函数的图像与性质强化训练（适合高一数学）2021新高考
