⑸连用公式：例5.已知a?b?0，求y?a?⑹对数变换：例6.已知x?216的最小值；
b(a?b)1,y?1，且xy?e，求t?(2x)lny的最大值； 2⑺三角变换：例7.已知0?y≤x??2，且tanx?3tany，求t?x?y的最大值；
⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知a?0,b?0，且a?2b?1，求t?11?的最小值. ab
“单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值
0≤?
①f(x,y)?x?y?增函数，在[
②g(x,y)?xy?22若x?y?a（a为定值，a?0），可设x??2?.
acos?,y?asin?,，其中
?15asin??acos??2asin(??)在[0,?],[?,2?)上是
44415??,]上是减函数； 4411357asin2?在[0,?],[?,?],[?,2?)上是增函数，在244441357[?,?],[?,?]上是减函数； 4444
?11x?ysin??cos????.令t?sin??cos??2asin(??)，xyxy4asin?cos?22其中t?[?2,?1)U(?1,1)U(1,2].由t?1?2sin?cos?，得2sin?cos??t?1，从
2t2而m(x,y)?在[?2,?1)U(?1,1)U(1,2]上是减函数. ?21a(t?1)a(t?)t③m(x,y)?
⑵和为定值
若x?y?b（b为定值，b?0），则y?b?x.
①g(x,y)?xy??x?bx在(??,]上是增函数，在[,??)上是减函数；
2b2b2b11x?yb???2.当b?0时，在(??,0),(0,]上是减函数，在xyxy?x?bx2bbb[,b),(b,??)上是增函数；当b?0时，在(??,b),(b,]上是减函数，在[,0),(0,??)上222②m(x,y)?是增函数.
③n(x,y)?x?y?2x?2bx?b在(??,]上是减函数，在[,??)上是增函数；
2222b2b2
⑶积为定值
若xy?c（c为定值，c?0），则y?①f(x,y)?x?y?x?c. xc.当c?0时，在[?c,0),(0,c]上是减函数，在x(??,?c],[c,??)上是增函数；当c?0时，在(??,0),(0,??)上是增函数；
②m(x,y)?11x?y1c???(x?).当c?0时，在[?c,0),(0,c]上是减函数，xyxycx在(??,?c],[c,??)上是增函数；当c?0时，在(??,0),(0,??)上是减函数；
c2c2③n(x,y)?x?y?x?2?(x?)?2c在(??,?c),(0,c]上是减函数，在
xx(?c,0],[c,??)上是增函数.
222
⑷倒数和为定值
112111c??（d为定值，,,），则y?.成等差数列且均不为零，可设公xydxdyx1dd1111,y?.. 差为z，其中z??，则??z,??z,得x?xdydd1?dz1?dz若
2d11(??,?),(?,0]上是减函数，在.当时，在d?01?d2z2dd1111[0,),(,??)上是增函数；当d?0时，在(??,),(,0]上是增函数，在dddd11[0,?),(?,??)上减函数；
dd①f(x)?x?y?
d211.(??,?),(?,0]上是减函数，在②g(x,y)?xy?.当时，在d?01?d2z2dd1111[0,),(,??)上是增函数；当d?0时，在(??,),(,0]上是减函数，在dddd11[0,?),(?,??)上是增函数；
dd
2d2(d2z2?1)22t?dz?1，其中t≥1且t?2，从而③n(x,y)?x?y?.令.222(dz?1)2d2t2d2n(x,y)??在[1,2)上是增函数，在(2,??)上是减函数. 24(t?2)t??4t22
应用基本不等式常见题型与思路
