基本不等式知识点总结
绝对值不等式： a1?a2?a3≤a1?a2?a3
a?b?a?b?a?b(ab?0时,取等)
双向不等式：a?b≤a?b≤a?b
（左边当ab≤0(≥0)时取得等号，右边当ab≥0(≤0)时取得等号.）
放缩不等式：
①a?b?0，a?m?0，则【说明】：
b?mbb?m??. a?maa?mbb?m?（a?b?0,m?0，糖水的浓度问题）. aa?mbb?ma?na??1??. aa?mb?nb【拓展】：a?b?0，m?0，n?0，则②a,b,c?R，
?bdbb?dd?，则??； acaa?cc1?n?n?1； ③n?N?，n?1?n?2n11111?2??. ④n?N?,n?1，?nn?1nn?1nx⑤lnx≤1?x(x?0),e≥x?1(x?R).
函数f(x)?ax?b(a、b?0)图象及性质 xbxbx(1)函数f(x)?ax??a、b?0?图象如图：
?yb2aba(2)函数f(x)?ax??a、b?0?性质：
o?2abxba①值域：(??,?2ab]?[2ab,??)；
②单调递增区间：(??,?
bb单调递减区间：(0,]，[,??)；
aabb,0). ]，[?aa 基本不等式知识点总结
重要不等式
1、和积不等式：a,b?R?a?b≥2ab(当且仅当a?b时取到“?”)．
22a?b2a2?b2a?b2a2?b2)??ab） )≤【变形】：①ab≤(（当a = b时，(2222a?ba?b2【注意】：ab≤)(a,b?R) (a,b?R?)，ab≤(22
2、均值不等式：
两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”
2aba?ba2?b2?≤ab≤≤（当且仅当a?b时取“?”） 11a?b22?ab1*.若x?0，则x??2 (当且仅当x?1时取“=”）;
x1 若x?0，则x???2 (当且仅当x??1时取“=”）
x2若x?0，则x?1?2即x?1?2或x?1?-2 (当且仅当a?b时取“=”）
xxx*.若ab?0，则a?b?2 (当且仅当a?b时取“=”）
ba若ab?0，则
ababab） ??2即??2或??-2 (当且仅当a?b时取“=”
bababa3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
a3?b3?c3≥3abc（a?b?c?0等式即可成立，a?b?c或a?b?c?0时取等）；
333a?b?ca?b?ca?b?c33abc≤)≤ ?abc≤(
333 *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当ab?0时，
a2?b2?2ab同时除以ab得
a2 *a,b,均为正数，?2a?b
ba2?b2a?b2a2?b2a?b2)?八种变式： ①ab? ； ②ab?( )； ③(2222a2114?2a?b；⑥a>0,b>0,则??④a?b?2(a?b)；⑤若b>0,则；baba?b22baba??2或?1?1?。 abab1124111112； ⑧ 若ab?0，则2?2?(?)。 ?)?abab2abab上述八个不等式中等号成立的条件都是“a?b”。
⑦若a>0,b>0,则(最值定理
（积定和最小）
①x,y?0,由x?y≥2xy，若积xy?P(定值)，则当x?y时和x?y有最小值2p；
（和定积最大）
②x,y?0,由x?y≥2xy，若和x?y?S(定值)，则当x?y是积xy有最大值
【推广】：已知x,y?R，则有(x?y)?(x?y)?2xy.
（1）若积xy是定值，则当|x?y|最大时，|x?y|最大；当|x?y|最小时，|x?y|最小.
2212s. 4（2）若和|x?y|是定值，则当|x?y|最大时，|xy|最小；当|x?y|最小时，|xy|最大.
③已知a,x,b,y?R，若ax?by?1，则有则的最小值为：
1x?111byax?(ax?by)(?)?a?b??≥a?b?2ab? (a?yxyxyb)
2?④已知，若
则
和
的最小值为：
①.
②
应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 0?x?4时，求函的数y?x(8?2x)最大值.
51f(x)?4x?2?，求函数 的最大值.
44x?5x2?7x?10(x??1)的值域； ⑶调整分子：例3.求函数f(x)?x?1⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知x?a?b?ab有几个常用变形,⑷变用公式：基本不等式2a2?b2a?b2?()不易想到，应重视； 2215例4.求函数y?2x?1?5?2x(?x?)的最大值；
22a2?b2a?b，?22
应用基本不等式常见题型与思路
