专题2 与三角形有关的角
一、三角形内角和定理：
二、三角形外角的性质：
如图，∠ACD是△ABC的外角，
则：①∠ =∠ +∠ ；
或∠ =∠ —∠ ；
B或∠ =∠ —∠ 。
② > 或 > A基本图形介绍： 1、对顶三角形： ①如图，AD、BC相交于O，求证：∠A+∠B=∠C+∠D C
②如图，AD、BC相交于O，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC， 求证：∠P=ACDBODAOB1（∠A+∠C） 2 2、“飞镖”形： ①如图，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C
P DCAEDCB1②如图，BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，求证：∠P=（∠A+∠D） 2P
D B3、三角形内外角平分线问题：
1①如图，△ABC中，P是△ACB的角平分线的交点，求证：∠BPC=90°+∠A
2A
P
BCAC
②如图，△ABC中，P是∠ABC的角平分线和△ABC的外角∠ACE的角平分线的交点。
1求证：∠BPC=∠A
2
B
③如图，△ABC中，P是外角∠EBC与∠BCF的角平分线的交点。 求证：∠BPC=90°-APCAE1∠A 2EBCFP
光的反射问题可转化为角平分线问题： ①由光的反射原理：∠1=∠2 又因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以MD平分∠BMC。 ②作法线MN，则MN平分∠AMB
4、一角平分线问题： ①在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C>∠B 求证：(1)∠ADC =90°-A1ENB2M3CDA1(∠C—∠B) 2BDC1(2)∠ADC=(∠ACE+∠B) 2
②在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，求证：∠EAD =E 1(∠C—∠B) 2A BDEC
拓展：①在△ABC中，AD平分∠BAC，P是AD延长线上一点，过P作PE⊥BC， A求证：∠EPD =
B
1(∠C—∠B) 2EDPC
拓展：②在△ABC中，AD平分∠BAC，P是BC延长线上一点，过P作PE⊥AD，
1求证：∠EPD =(∠C—∠B)
2A
E
B CD5、直角三角形斜边上的高的问题： ①如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求证：∠1=∠A；∠2=∠B C
12 AD
②如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB，AF平分∠BAC，求证：∠CFE=∠CEF C
F
E AD6、翻折问题： 如图，将三角形沿直线DE翻折使点A在△ABC的内部得A， 'PBBA1求证：∠A=（∠1+∠2） 2
巩固练习： 1、在△ABC中，∠A=D 1A'B2CE 11∠B=∠C，则此三角形是（ ） 23 A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 2、如图，△ABC中，∠B=∠C，点D在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，若∠BDE=140°，
那么∠DEF是（ ） A、55° B、60° C、65° D、70° 3、如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ） A、59° B、60° C、56° D、22° 4、如图，△ABC中，∠A=???，∠B=?，∠C=???，（0?????90）若∠BAC与
∠BCA的平分线交于P点，则∠APC是（ ） A、90° B、105° C、120° D、150°
第2题 第3题 第4题 第5题
5、如图，已知E、F是△ABC的边AB、AC上的点，△AEF沿EF折叠，并使点A落在四边形EBCF内，∠BEG=20°，∠CFG=86°，那么∠A是（ ） A、52° B、53° C、54° D、60° 6、等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是（ ） A、50°，50°，80° B、50°，50°，80°或130°，25°，25° C、50°，65°，65° D、50°，50°，80°或50°，65°，65° 7、已知：△ABC中，∠A=66°，△ABC的高BE、CF所在直线相交于点G，则∠BGC=（ ）度。 A、123° B、66° C、114° D、66°或114° 8、如图，已知△ABC中，∠B=∠ACB，∠BAC和∠ACB的角平分线交于D点，∠ADC=130°，那么∠CAB是（ ） A、80° B、50° C、40° D、20 9、如图，∠A=60°，线段BP、BE把∠ABC三等分，线段CP、CE把∠ACB三等分，那么∠BPE=（ ）度。 A、40° B、50° C、60° D、70° A B M
A D F G H
B E D C C N
第8题 第9题 第10题 第11题 10、已知∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠5 =∠6，∠7 =∠8，若∠1 =16°，则∠9 =（ ） A、64° B、80° C、96° D、112° 1 3 4 5 7 8 6 9 11、如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，BF交AE、AD于G、H，∠C＞∠
ABC，下列结论正确的是（ ） ①∠AGB=90°+
1∠C ②∠C－∠ABC=2∠EAD 2③∠BFC+∠AEC=180° ④∠AGB+∠BHD－∠EAD=180°
A、①② B、③④ C、①②③④ D、①②④ 12、如图，已知∠MAN为定角，点B、C分别是∠MAN的边AM、AN上的动点，2∠DBC=
∠MBC，∠DCB=
1∠BCN，则下列四个结论，其中正确的是（ ） 2 ①∠MBD+∠NCD+∠D=180° ②∠MBD+∠NCD+∠A为定值
③∠A+2∠D为定值 ④△ABC的周长为定值
A、①② B、①③ C、①②③ D、①②③④ 13、△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠A+20°，那么∠A= 度。 14、若三角形的三个外角的比2︰3︰4，则它的三个内角的比为 。 15、在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是AC边上的高，BE平分∠ABC， 则∠DBE= 度。 16、如图，BE、CF分别是∠ABD、∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，
∠BGC=110°，则∠A= 度。 17、如图，△ABC中，∠B=66°，∠C=45°，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE= 度. 18、如图，∠A=27.5°，∠B=38.5°，∠BFD=95°，则∠E= . A
F E
G
D
B C
第16题 第17题 第18题 19、如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ A20、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为BC边上一点，E为直线AC 上一点，且∠ADE=∠AED. （1）求证：∠BAD=2∠CDE；
（2）如图，若D在BC的反向延长线上，其它条件不变，
（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.
EBDC
培优专题二与三角形有关的角
