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最新人教A版高一数学必修一单元测试题全套及答案

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最新人教A版高一数学必修一单元测试题全套及答案

最新人教A版高一数学必修一单元测试题全套及答案

第一章单元质量评估

时限:120分钟 满分:150分

一、选择题(每小题5分,共60分)

1.已知全集U=R,集合P={x∈N*|x<7},Q={x|x-3>0},那么图中阴影部分表示的集合是( )

A.{1,2,3,4,5,6} B.{x|x>3} C.{4,5,6} D.{x|3

2.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a等于( ) A.4 C.0

B.2 D.0或4

3.下表给出函数y=f(x)的部分对应值,则f(1)=( )

x -1 0 y A. π C.8

2 0 1 π 4 7 8 1 -3 1 B.4 D.0

4.下列四个函数中,在(-∞,0)上是增函数的为( ) A.f(x)=x+1

2

1

B.f(x)=1-x 最新人教A版高一数学必修一单元测试题全套及答案

C.f(x)=x2-5x-6

D.f(x)=3-x

x2+1

5.函数f(x)=1+x+的定义域为( )

1-xA.[-1,+∞) C.R

1,x>0,??

6.设f(x)=?0,x=0,

??-1,x<0,A.1 C.-1

B.(-∞,-1] D.[-1,1)

??1,x为有理数,

g(x)=?则f(g(π))的值为( )

??0,x为无理数,

B.0 D.π

7.已知函数f(x)的定义域为(3-2a,a+1),且f(x+1)为偶函数,则实数a的值等于( )

2

A.3 C.4

B.2 D.6

8.已知函数y=k(x+2)-1的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+

?37?

b的图象上,则f ?-27?等于( )

??

8

A.9 5C.9

7B.9 2D.9

9.已知函数y=f(x)在(0,2)上为增函数,函数y=f(x+2)为偶函数,则f(1),

?5??7???f 2,f ?2?的大小关系是( ) ????

?5??7?A.f ?2?>f (1)>f ?2?

??

??

?5??7?

B.f (1)>f ?2?>f ?2?

?????7??5?

C.f ?2?>f ?2?>f (1)

????

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?7??5?D.f ?2?>f (1)>f ?2?

??

??

10.定义运算a

??b,a≤b,b=?则函数f (x)=x2

??a,a>b,

|x|的图象是( )

11.若函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又f(3)=0,则f?x?+f?-x?

<0的解集为( ) 2x

A.(-3,3)

B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)

12.函数f(x)=x2-2ax+a+2在[0,a]上的最大值为3,最小值为2,则a的值为( )

A.0 C.1

B.1或2 D.2

二、填空题(每小题5分,共20分)

13.已知f(x+2)=x2-4x,则f(x)=________.

14.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=________.

15.已知二次函数f(x)=x2+2ax-4,当a________时,f(x)在[1,+∞)上是增函数,当a________时,函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞).

答案

1.C P={1,2,3,4,5,6},Q={x|x>3},则阴影部分表示的集合是P∩Q=

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{4,5,6}.

2.A 当a=0时,方程ax2+ax+1=0无解, 这时集合A为空集,故排除C、D.

1

当a=4时,方程4x+4x+1=0只有一个解x=-2,

2

这时集合A只有一个元素,故选A. 3.A

4.B A,C,D选项中的三个函数在(-∞,0)上都是减函数,只有B正确.

??1+x≥0,5.D 要使函数有意义,则有?

?1-x>0,?

解得-1≤x<1,所以函数的定义域为[-1,1). 6.B 因为π是无理数,所以g(π)=0, 所以f(g(π))=f(0)=0.故选B.

7.B 因为函数f(x+1)为偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)关3-2a+a+1

于x=1对称,所以区间(3-2a,a+1)关于x=1对称,所以=1,2即a=2,所以选B.

8.A 由题知A(-2,-1).

?37?

又由A在f(x)的图象上得3×(-2)+b=-1,b=5,则f(x)=3x+5,则f ?-27?

??

8

=9.故选A.

9.A y=f(x+2)关于x=0对称,则y=f(x)关于x=2对称,因为函数f(x)

?5??7???在(0,2)上单调递增,所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,所以f 2>f (1)>f ?2?. ????

10.B 根据运算a

??b,a≤b,

b=? ?a,a>b,?

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得f(x)=x2

|x|=

2??x,x<-1或x>1,?由此可得图象如图所示. ??|x|,-1≤x≤1,

11.C ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),故

f?x?+f?-x?f?x?

<0可化为2xx<0.又f(x)

在(0,+∞)上是减函数,且f(3)=0,结合图象知,当x>3时,f(x)<0,当-3

时,f(x)>0,故x<0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).

12.C 二次函数y=x2-2ax+a+2的图象开口向上,且对称轴为x=a,所以该函数在[0,a]上为减函数,因此有a+2=3且a2-2a2+a+2=2,得a=1.

13.x2-8x+12

解析:设t=x+2,则x=t-2, ∴f(t)=(t-2)2-4(t-2)=t2-8t+12. 故f(x)=x2-8x+12. 14.-0.5

解析:由题意,得f(x)=-f(x+2)=f(x+4),则f(7.5)=f(3.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.

15.≥-1 =-1

解析:∵f(x)=x2+2ax-4=(x+a)2-4-a2, ∴f(x)的单调递增区间是[-a,+∞),

∴当-a≤1时,f(x)在[1,+∞)上是增函数,即a≥-1; 当a=-1时,f(x)的单调递增区间是[1,+∞).

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16.定义在R上的偶函数f(x),当x∈[1,2]时,f(x)<0,且f(x)为增函数,给出下列四个结论:

①f(x)在[-2,-1]上单调递增; ②当x∈[-2,-1]时,有f(x)<0; ③f(x)在[-2,-1]上单调递减; ④|f(x)|在[-2,-1]上单调递减.

其中正确的结论是________(填上所有正确的序号).

三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程,只写最后结果的不得分,共70分)

17.(10分)设全集为实数集R,集合A={x|3≤x<7},B={x|2

(1)求A∪B及(?RA)∩B;

(2)若A∩C=A,求a的取值范围; (3)如果A∩C≠?,求a的取值范围. x-|x|

18.(12分)已知函数f(x)=1+4. (1)用分段函数的形式表示函数f(x); (2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象;

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1

(3)在同一平面直角坐标系中,再画出函数g(x)=x(x>0)的图象(不用列表),1

观察图象直接写出当x>0时,不等式f(x)>x的解集.

——————————————————————————

答案

16.②③

解析:因为f(x)为定义在R上的偶函数,且当x∈[1,2]时,f(x)<0,f(x)为增函数,由偶函数图象的对称性知,f(x)在[-2,-1]上为减函数,且当x∈[-2,-1]时,f(x)<0.

17.解:(1)A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2

所以(?RA)∩B={x|2

(2)由A∩C=A知A?C,借助数轴可知a的取值范围为[7,+∞). (3)由A∩C≠?可知a的取值范围为(3,+∞). x-x

18.解:(1)当x≥0时,f(x)=1+4=1; x+x1

当x<0时,f(x)=1+4=2x+1.

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?1,x≥0,

所以f(x)=?1

?2x+1,x<0.

(2)函数f(x)的图象如图所示.

11

(3)函数g(x)=x(x>0)的图象如图所示,由图象知f(x)>x的解集是{x|x>1}.

x

19.(12分)已知f(x)=(x≠a).

x-a

(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;

(2)若a>0,且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.

20.(12分)已知函数f(x)是正比例函数,函数g(x)是反比例函数,且f(1)=1,g(1)=2.

(1)求函数f(x)和g(x);

(2)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性;

(3)求函数f(x)+g(x)在(0,2]上的最小值.

答案

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2?x1-x2?x1x2

19.(1)证明:任取x1

x1+2x2+2?x1+2??x2+2?∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)

故f(x)在(-∞,-2)内单调递增.

a?x2-x1?x1x2

(2)解:任设1

x1-ax2-a?x1-a??x2-a?∵a>0,x2-x1>0,

∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,∴a≤1. 综上所述,a的取值范围是(0,1].

k2

20.解:(1)设f(x)=k1x,g(x)=x,其中k1k2≠0. k2∵f(1)=1,g(1)=2,∴k1×1=1,1=2, 2

∴k1=1,k2=2,∴f(x)=x,g(x)=x. 2

(2)设h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=x+x, ∴函数h(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 2??2

∵h(-x)=-x+=-?x+x?=-h(x),

??-x

∴函数h(x)是奇函数,即函数f(x)+g(x)是奇函数. 2

(3)由(2)知h(x)=x+x. 设x1,x2是(0,2]上的任意两个不相等的实数,且x1

=?x1+x?-?x2+x?=(x1-x2)+?x-x?=(x1-x2)?1-xx?=. x1x2???1?1?2?2?12?

∵x1,x2∈(0,2],且x1

∴x1x2-2<0,∴(x1-x2)(x1x2-2)>0. 最新人教A版高一数学必修一单元测试题全套及答案

∴h(x1)>h(x2).

∴函数h(x)在(0,2]上是减函数,函数h(x)在(0,2]上的最小值是h(2)=22,

即函数f(x)+g(x)在(0,2]上的最小值是22.

——————————————————————————

21.(12分)若定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f(x)>1.

(1)求证:y=f(x)-1为奇函数; (2)求证:f(x)是R上的增函数; (3)若f(4)=5,解不等式f(3m-2)<3.

x+m

22.(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=2. x+nx+1(1)求m,n的值;

(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上为增函数;

?11?a

(3)若f(x)≤3对x∈?-3,3?恒成立,求a的取值范围.

?

?

答案

21.(1)证明:因为定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,

所以令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-1, 即f(0)=1.

令x1=x,x2=-x,

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则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1, 所以[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0, 故y=f(x)-1为奇函数.

(2)证明:由(1)知y=f(x)-1为奇函数, 所以f(x)-1=-[f(-x)-1].

任取x1,x2∈R,且x10, 所以f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1 =f(x2)-[f(x1)-1]=f(x2)-f(x1)+1. 因为当x>0时,f(x)>1,

所以f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+1>1, 即f(x1)

故f(x)是R上的增函数.

(3)解:因为f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,且f(4)=5,所以f(4)=f(2)+f(2)-1=5,即f(2)=3,

由不等式f(3m-2)<3,得f(3m-2)

4

所以3m-2<2,即3m-4<0,即m<3, 4??

??-∞,故不等式f(3m-2)<3的解集为3?. ?

22.(1)解:因为奇函数f(x)的定义域为R,所以f(0)=0. 0+m

故有f(0)=2=0,解得m=0.

0+n×0+1x

所以f(x)=2.由f(-1)=-f(1),

x+nx+1

-11

即=-,解得n=0.所以m=n=0. ?-1?2+n×?-1?+112+n×1+1xx1x2(2)证明:由(1)知f(x)=2,任取-1

最新人教A版高一数学必修一单元测试题全套及答案 22

x1?x2x1x22+1?-x2?x1+1?2-x2x1+?x1-x2?== 222

?x2+1??x+1??x+1??x+1?1212

?x1-x2??1-x1x2?=2. ?x1+1??x2+1?2

因为-10,又因为x1

故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

所以函数f(x)在??11?

?-3,3??上为增函数,

故最大值为f ??1?3

?3??

=10. 由题意可得a≥3≥9

310,解得a10.

故a的取值范围为??9??10,+∞??

.

第二章单元质量评估

时限:120分钟 满分:150分

一、选择题(每小题5分,共60分) 1.?lg9-1?2的值等于( ) A.lg9-1 B.1-lg9 C.8

D.22

2.下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是( A.y=2x B.y=log

2x

C.y=2

x

D.y=2x2+x+1

) 最新人教A版高一数学必修一单元测试题全套及答案

3.已知函数f(x)=???3x,x≤0,??1??

??log,x>0,

那么f?f?2x??8????的值为( )

A.27 B.127 C.-27

D.-127

4.函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )

5.已知a=212

,b=??1?-0.5

?2??

,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( )

A.c

D.b

6.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是( )

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7.一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a kg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于( )

0.5A.lg0.92 lg0.5C.lg0.92

0.92B.lg0.5 lg0.92D.lg0.5

8.下列函数中,定义域是R且为增函数的是( ) A.y=e-x C.y=lnx

B.y=x3 D.y=|x|

9.已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是( ) A.d=ac C.c=ad

B.a=cd D.d=a+c

10.已知f(x)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数,若f(lgx)>f(1),则x的

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取值范围是( )

?1??,1A.10? ???1?

C.?10,10? ?

?

1????0,B.10?∪(1,+∞) ?D.(0,1)∪(1,+∞)

11.函数f(x)=log2|2x-1|的图象大致是( )

12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,设a=

?1?

f(log26),b=f(log1 3),c=f?3?,则a,b,c的大小关系是( )

2

??

A.c

B.b

二、填空题(每小题5分,共20分) 13.已知4a=2,lgx=a,则x=________.

14.已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=________.

15.函数y=loga(2x-3)+4的图象恒过定点M,且点M在幂函数f(x)的图象上,则f(3)=________.

16.已知0

?1?y?1?x

①3>3;②logx3>logy3;③?3?>?3?;④log4x

????4

y

x

其中正确的关系式的序号是________.

答案

1.B 因为lg9

所以?lg9-1?2=|lg9-1|=1-lg9.故选B.

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2

2.C 函数y=x为(0,+∞)上的减函数.故选C.

?1?1

3.B f?8?=log28=-3,

????1??1∴f?f?8??=f(-3)=3-3=27. ????

4.A 函数过定点(0,0),排除选项B、D,又f(-x)=ln(x2+1)=f(x),所以f(x)为偶函数,排除选项C.故选A.

?1?

5.A ∵a=212,b=?2?-0.5=2 =2>1.

??

1 2

∴a>b>1.又c=2log52=log54<1, 因此a>b>c.

6.D 若a>1,则函数g(x)=logax的图象过点(1,0),且单调递增,但当x∈[0,1)时,y=xa的图象应在直线y=x的下方,故C选项错误;

若0

117.C 设t年后剩余量为y kg,则y=(1-8%)a=0.92a.当y=2a时,2a=

t

t

lg0.5

0.92ta,所以0.92t=0.5,则t=log0.920.5=lg0.92.

8.B A项,函数y=e-x为R上的减函数; B项,函数y=x3为R上的增函数; C项,函数y=lnx为(0,+∞)上的增函数;

D项,函数y=|x|在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数. 故只有B项符合题意,应选B. lgb

9.B 由log5b=a,得lg5=a; lg101由5d=10,得d=log510=lg5=lg5, 最新人教A版高一数学必修一单元测试题全套及答案

又lgb=c,所以cd=a.故选B.

10.C 由于f(x)是偶函数且在(0,+∞)上是减函数,所以f(-1)=f(1),且

??x>0,1?f(x)在(-∞,0)上是增函数,应有解得10

11.C 当0

12.A 由f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,则f(x)在[0,+∞)上是增函数,由b=f??

??

1?log1 3?

?=f(-log23)=f(log23),由0<

?1?

f?3?

13.10

11

解析:由4a=2,可得a=log42=2.所以lgx=2,即14.2

解析:由已知可得,lg(ab)=1,故f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=lg(a2b2)=2lg(ab)=2×1=2.

15.9

解析:当2x-3=1时y=4.即函数y=loga(2x-3)+4图象恒过定点M(2,4),又M在幂函数f(x)图象上,设f(x)=xm,则4=2m,解得m=2,即f(x)=x2,则f(3)=32=9.

16.①②④

解析:∵3>1,y>x,∴3y>3x,故①正确. 由对数函数的图象知②正确; 由①正确知③不正确; ∵4>1,x

∴log4x0,log4y<0,

41 2

x=10 =10.

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∴log1 x>log4y,故⑤不正确.

2

————————————————————————————

三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程,只写最后结果的不得分,共70分)

17.(10分)计算: (1)?24

??

11?2

2- ?3?33-0? -(-0.96)-?3? +1.52+[(-

?

?8?

3

- 4-4

2)] ;

1- log72+1?1?2

(2)?lg-lg25?÷100 +7.

?4

?

2718.(12分)已知函数f(x)=xm-x且f(4)=2. (1)求m的值; (2)判定f(x)的奇偶性;

(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.

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答案

12

- ?27?3?3?-223

??????17.解:(1)原式= -1- ++[(

?9? ?4?

?8??2?

2)]

-4

3

- 4

?3?-23

=-1-??+2?2?

?3?-2153??+(2)3=+2=. 22?2?

(2)原式=-(lg4+lg25)÷100

1

- 2

+14

=-2÷10-1+14=-20+14=-6. 718.解:(1)因为f(4)=2, 27

所以4-4=2,所以m=1.

m

2

(2)由(1)知f(x)=x-x,所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,

2??2

又f(-x)=-x+x=-?x-x?=-f(x).

??所以函数f(x)是奇函数.

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(3)函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,证明如下: 设x1>x2>0,

2?2??则f(x1)-f(x2)=x1-x-x2-x? ?2?1

2???=(x1-x2)1+xx?, ?12?

2

因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,1+xx>0.

12所以f(x1)>f(x2).

所以函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.

———————————————————————————— 19.(12分)设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,且a≠1),f(1)=2. (1)求a的值及f(x)的定义域;

3??

(2)求f(x)在区间?0,2?上的最大值和最小值.

?

?

a·3x-1-a

20.(12分)若函数y=f(x)=为奇函数.

3x-1(1)求a的值; (2)求函数的定义域; (3)求函数的值域.

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答案

19.解:(1)∵f(1)=2,∴loga4=2, ∵a>0,且a≠1,∴a=2.

??1+x>0,由?得x∈(-1,3). ?3-x>0,?

故函数f(x)的定义域为(-1,3).

(2)∵由(1)知,f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2

+4],

∴当x∈(-1,1]时,f(x)是增函数; 当x∈(1,3)时,f(x)是减函数.

3??

∴函数f(x)在?0,2?上的最大值是f(1)=log24=2.

??∵函数y=-(x-1)2+4的图象的对称轴是x=1,

?3?

∴f(0)=f(2)

??

3??

∴函数f(x)在?0,2?上的最小值为f(0)=log23.

??a·3x-1-a1

20.解:∵函数y=f(x)==a-x.

3x-13-1(1)由奇函数的定义,可得f(-x)+f(x)=0, 111

即2a-x--x=0,∴a=-2.

3-13-111

(2)∵y=-2-x,∴3x-1≠0,即x≠0.

3-111

∴函数y=-2-x的定义域为{x|x≠0}.

3-1(3)∵x≠0,∴3x-1>-1.

∵3x-1≠0,∴-1<3x-1<0或3x-1>0, 111111∴-2-x>2或-2-x<-2. 3-13-1

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??11???故函数的值域为yy>2或y<-2?. ???

———————————————————————————— 21.(12分)已知函数f(x)=2x2-4x+a,g(x)=logax(a>0且a≠1). (1)若函数f(x)在[-1,2m]上不具有单调性,求实数m的取值范围; (2)若f(1)=g(1). ①求实数a的值;

1

②设t1=2f(x),t2=g(x),t3=2x,当x∈(0,1)时,试比较t1,t2,t3的大小.

?1+x??1?

?(a∈R),若f?-?=-1. (12分)设函数f(x)=log2?

?3?1-ax??

(1)求f(x)的解析式;

1+x?12?

(2)g(x)=log2k,若x∈?2,3?时,f(x)≤g(x)有解,求实数k的取值集合.

??

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答案

21.解:(1)因为抛物线y=2x2-4x+a开口向上,对称轴为x=1, 所以函数f(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, 因为函数f(x)在[-1,2m]上不单调, 所以2m>1,得m>1

2,

所以实数m的取值范围为??1?

?2,+∞??

.

(2)①因为f(1)=g(1),所以-2+a=0, 所以实数a的值为2.

②因为t=1

12f(x)=x2-2x+1=(x-1)2, t2=g(x)=log2x, t3=2x,

所以当x∈(0,1)时,t1∈(0,1),t2∈(-∞,0),122.解:(1)f??1?

1-3

?-3??

=log21+a=-1,

32∴3

=14a

a2,即3=1+3,解得a=1. 1+3∴f(x)=log1+x

21-x. (2)∵log1+x

1+x21-x

≤log

2

k

=2log1+x

?1+x?2k=log2?2?k??

, ∴1+x1-x≤??1+x??k?2

?

. 易知f(x)的定义域为(-1,1),

t3∈(1,2),所以t20,1-x>0,∴k≤1-x.

2

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22

?12?

令h(x)=1-x,则h(x)在?2,3?上单调递减,

???1?33

∴ h(x)max=h?2?=4.∴只需k2≤4. ??

3

又由题意知k>0,∴0

第三章单元质量评估

时限:120分钟 满分:150分

一、选择题(每小题5分,共60分)

1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )

A.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0 B.若f(a)f(b)<0,则只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0 C.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0 D.若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0

2.函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实根0,则f(-1)·f(1)的值( )

A.大于0 C.等于0

B.小于0 D.无法确定

3.若函数f(x)在[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,且同时满足a+bf(a)f(b)<0,f(a)·f(2)>0,则( )

a+b

A.f(x)在[a,2]上有零点

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a+b

B.f(x)在[2,b]上有零点 a+b

C.f(x)在[a,2]上无零点 a+b

D.f(x)在[2,b]上无零点

4.函数f(x)=1-xlnx的零点所在的区间是( ) 1

A.(0,2) C.(1,2)

1

B.(2,1) D.(2,3)

5.设f(x)=3x+3x-8,若用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间为( )

A.(1,1.25) C.(1.5,2)

B.(1.25,1.5) D.不能确定

6.若函数f(x)=x2+3x+2,且f(a)>f(b)>0,则函数f(x)的区间(a,b)内( ) A.一定无零点 C.可能有两个零点

B.一定有零点 D.至多有一个零点

7.如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗中盛满液体,经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的高度,则H与下落时间t(分钟)的函数关系表示的图象可能是( )

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8.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况

加油时间 加油量(升) 加油时的累 计里程(千米) 35 000 35 600 2015年5月1日 2015年5月15日 12 48 注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升 C.10升

B.8升 D.12升

9.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )

p+qA.2 C.pq

2

?p+1??q+1?-1B. 2D.?p+1??q+1?-1

10.设a是函数f(x)=2x-log1 x的零点,若x0>a,则( ) A.f(x0)=0

B.f(x0)>0

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C.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定

11.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )

A.{1,3}

C.{2,-7,1,3}

B.{-3,-1,1,3} D.{-2-7,1,3}

??2-|x|,x≤2,

12.已知函数f(x)=?函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若2

??x-2?,x>2,?

函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )

7

A.(4,+∞) 7

C.(0,4)

7

B.(-∞,4) 7

D.(4,2) 答案

1.C 当零点在区间(a,b)内时,f(a)f(b)>0也可能成立,因此A不正确,C正确;若y=f(x)满足零点存在性定理的两个条件,则在该区间内必存在零点,但个数不能确定,故B,D都不正确.

2.D 由题意,知f(x)在(-1,1)上有零点0,该零点可能是变号零点,也可能是不变号零点,∴f(-1)·f(1)的符号不确定,如f(x)=x2,f(x)=x.

a+ba+b

3.B 由f(a)f(b)<0,f(a)f(2)>0可知f(2)

a+b

f(b)<0,根据零点存在性定理可知f(x)在[2,b]上有零点.

4.C 由于f(1)=1-ln1=1>0,f(2)=1-2ln2=lne-ln4<0,由零点存在性定理可知所求区间为(1,2).

5.B ∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴f(1.5)·f(1.25)<0,因此方程的根所在的区间为(1.25,1.5).

6.C 根据二次函数的图象可知选项C正确.

1

7.B 由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口,当时间取2t时,漏斗中液面

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1

下落的高度不会达到漏斗高度的2,对比四个选项的图象可知选B.

8.B 因为第一次(即5月1日)把油加满,而第二次把油加满加了48升,即汽车行驶35 600-35 000=600千米耗油48升,所以每100千米的耗油量为8升,选B.

9.D 设年平均增长率为x,原生产总值为a,则(1+p)(1+q)a=a(1+x)2,解得x=?1+p??1+q?-1,故选D.

10.B 如图所示,画出函数y=2x与y=log1 x的图象,可知当x0>a时,

2

x

20>log1 x0,故f(x0)>0.

2

11.D 当x≥0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根,由x2-3x=x-3,解得x=1或3.当x<0时,由f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x),即f(x)=-x2-3x.由f(x)=x-3得x=-2-7(正根舍去).故选D.

12.D 函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,即方程f(x)-g(x)=0,即b=f(x)+f(2-x)有4个不同的实数根,即直线y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图象有4x+x+2,x<0,??

个不同的交点.又y=f(x)+f(2-x)=?2,0≤x≤2,

??x2-5x+8,x>2,

2

作出该函数的图象如

7

图所示,由图可得,当4

个不同的交点,故函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点时,b的取值范围是(4,2).

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———————————————————————————— 二、填空题(每小题5分,共20分)

13.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下部分对应值表:

x f(x) 1 136.135 2 3 4 5 6 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064 可以看出函数f(x)至少有________个零点. 14.用二分法求函数f(x)的一个零点,其参考数据如下:

f(1.600 0)≈0.200 f(1.562 5)≈0.003 f(1.587 5)≈0.133 f(1.556 25)≈-0.029 f(1.575 0)≈0.067 f(1.550 0)≈-0.060 据此数据,可得f(x)的一个零点的近似值(精确度0.01)为________. 15.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.

x??2-a,x<1,16.设函数f(x)=?若f(x)恰有2个零点,则实数a

??4?x-a??x-2a?,x≥1.

的取值范围是________.

三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程,只写最后结果的不得分,共70分)

17.(10分)(1)判断函数f(x)=x-x-1在区间[-1,2]上是否存在零点; 2

(2)求函数y=x+x-3的零点.

18.(12分)若函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=lnx+2x-6,试判断函数f(x)的零点个数.

答案

13.3

解析:由已知数据可知f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数在区间(2,3),(3,4),(4,5)内各至少有1个零点,则函数至少有3个零点.

14.1.562 5(答案不唯一)

解析:由参考数据知,f(1.562 5)≈0.003>0,

f(1.556 25)≈-0.029<0,即f(1.556 25)·f(1.562 5)<0,又1.562 5-1.556 25=0.006 25<0.01,∴f(x)的一个零点的近似值可取为1.562 5.

15.24

b

e=192,??e=192,?

解析:由题意得?22k+b即?11k1所以该食品在33℃的保鲜时

?e=48,?

?e=2,b

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3

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1

间是y=e33k+b=(e11k)3·eb=(2)3×192=24(小时).

1

16.[2,1)∪[2,+∞)

解析:当a≥1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足21-a≤0,即a≥2,所

??a<1≤2a,1

以a≥2;当a<1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足?1解得2≤a<1.

??2-a>0,

1

综上,实数a的取值范围为[2,1)∪[2,+∞).

17.解:(1)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,f(-1)f(2)<0.∴f(x)在[-1,2]上存在零点.

x2-3x+2?x-1??x-2??x-1??x-2?22

(2)x+x-3==,解方程x+x-3=0,即xxx2

=0,可得x=1或x=2.∴函数y=x+x-3的零点为1,2.

18.解:方法一:当x<0时,-x>0,f(-x)=

ln(-x)-2x-6,又f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-ln(-x)+2x+6. 故函数f(x)的解析式为 lnx+2x-6,x>0??

f(x)=?0,x=0

??-ln?-x?+2x+6,x<0

令f(x)=0易得函数f(x)有3个零点.

方法二:当x>0时,在同一坐标系中作出函数y=lnx和y=6-2x的图象如图所示,易知两函数图象只有1个交点,即当x>0时,函数f(x)有1个零点.

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由f(x)为定义在R上的奇函数,可知f(0)=0,且图象关于原点对称,则当x<0时,函数f(x)有1个零点.

综上可知,f(x)在R上有3个零点.

————————————————————————————

19.(12分)已知二次函数f(x)=x2+bx+c,且方程f(x)+4=0有唯一解x=1.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若函数f(x)在区间[a,a+4]上存在零点,求实数a的取值范围. (12分)

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某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线.

(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);

(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时,对治疗疾病有效,求服药一次治疗疾病有效的时间.

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答案

19.解:(1)方程f(x)+4=0有唯一解x=1,即一元二次方程x2+bx+c+4=0有唯一解x=1,

2???b-4?c+4?=0,?b=-2,则??? ?b+c+5=0,???c=-3,

所以f(x)=x2-2x-3.

(2)结合(1)易知函数f(x)的零点为-1,3. 当-1∈[a,a+4]时,-5≤a≤-1; 当3∈[a,a+4]时,-1≤a≤3. 故实数a的取值范围为[-5,3]. 20.解:(1)当0≤t<1时 ,y=4t;

?1?

当t≥1时,y=?2?t-a此时M(1,4)在曲线上,

??

?1??1?

故4=?2?1-a,解得a=3,即y=?2?t-3.

??

??

?4t,0≤t<1,

故y=f(t)=??1?t3

?,t≥1.??2??

?4t≥0.25,

(1)因为f(t)≥0.25,则??1?t3

?≥0.25.???2??t≥1,

解得?16

?t≤5,

1

所以16≤t≤5,

因此服药一次治疗疾病有效的时间为 115

5-16=416(h).

————————————————————————————

21.(12分)设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-(x-2)2+2.

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(1)求函数f(x)在R上的解析式; (2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象;

(3)若方程f(x)-k=0有四个解,求实数k的取值范围.

22.(12分)人们对声音有不同的感觉,这与它的强度I(单位:W/m2)有关系.但I在实际测量时,常用声音的强度水平L1(单位:dB)表示,它满足公式:L1=10×lgI

0

(L1≥0,其中I0=1×10-12W/m2,这是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).根据以上材料,回答下列问题:

(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12W/m2,耳语声的强度是1×10-10W/m2,恬静的无线电广播声的强度是1×10-8W/m2,试分别求出它们的强度水平;

(2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50 dB以下,试求声音的强度I的范围是多少?

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答案

21.解:(1)由于f(x)为定义在R上的偶函数,则f(-x)=f(x),

若x<0,则-x>0,f(x)=f(-x)=-(-x-2)2+2=-(x+2)2+2,则f(x)=

2??-?x-2?+2,x≥0,

? 2

?-?x+2?+2,x<0.?

(2)图象如图所示:

(3)由于方程f(x)-k=0的解就是函数y=f(x)的图象与直线y=k的交点的横坐标,观察函数y=f(x)的图象可知,当-2

22.解:(1)由题意可知,树叶沙沙声的强度是I1=1×10所以LI1=10×lg1=0,即树叶沙沙声的强度水平为0 dB.

耳语声的强度是I2=1×10即耳语声的强度水平为20 dB.

I3

恬静的无线电广播声的强度是I3=1×10 W/m,则I=104,所以LI3=

0

-8

-10

-12

I1

W/m,则I=1,

0

2

I2

W/m,则I=102,所以LI2=10×lg102=20,

0

2

2

10×lg104=40,即恬静的无线电广播声的强度水平为40 dB.

II

(2)由题意知,0≤L1<50,即0≤10×lgI<50,所以1≤I<105,即10-12≤I<10

00

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-7

.

所以小区内公共场所的声音的强度I的范围为大于或等于10-12W/m2,同时

应小于10-7W/m2.

模块综合评估

时限:120分钟 满分:150分

一、选择题(每小题5分,共60分)

1.已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N等于( ) A.? B.{x|0

D.{x|2

2.设U是全集,集合A,B满足AB,则下列式子中不成立的是( A.A∪(?UB)=U B.A∪B=B C.(?UA)∪B=U

D.A∩B=A

3.设f(x)=??

?2ex-1,x<2,??log则f[f(2)]等于( 3

?2x

-1?,x≥2,

) A.0 B.1 C.2

D.3

4.下列函数中,随x增大而增大速度最快的是( ) A.y=2 006lnx B.y=x2 006 C.y=ex

2 006

D.y=2 006·2x

11

5.设

a=0.72

,b=0.82

,c=log30.7,则(

)

A.c

D.b

6.函数y=ax-2+loga(x-1)+1(a>0,a≠1)的图象必经过点( )

)

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A.(0,1) C.(2,1)

B.(1,1) D.(2,2)

7.已知函数f(x)=m+log2x2的定义域是[1,2],且f(x)≤4,则实数m的取值范围是( )

A.(-∞,2] C.[2,+∞)

B.(-∞,2) D.(2,+∞)

1

8.已知x2+y2=1,x>0,y>0,且loga(1+x)=m,loga=n,则logay等

1-x于( )

A.m+n 1

C.2(m+n)

B.m-n 1

D.2(m-n)

9.函数y=x2-3在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是( ) A.1.55 C.1.75

B.1.65 D.1.85

10.已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0且a≠1),若f(3)g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( )

1

11.设函数F(x)=f(x)-,其中x-log2f(x)=0,则函数F(x)是( )

f?x?A.奇函数且在(-∞,+∞)上是增函数 B.奇函数且在(-∞,+∞)上是减函数 C.偶函数且在(-∞,+∞)上是增函数 D.偶函数且在(-∞,+∞)上是减函数

12.已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)是奇函数,且当x>0

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时,f(x)=x2-x+a,若函数g(x)=f(x)-x的零点恰有两个,则实数a的取值范围是( )

A.a<0 C.a≤1

B.a≤0 D.a≤0或a=1

二、填空题(每小题5分,共20分)

13.设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA={1,2},则实数m=________.

14.若函数f(x)=mx2-2x+3只有一个零点,则实数m的取值是________. 15.对于函数f(x)=lnx的定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论: ①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2); ②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2); f?x1?-f?x2?③>0.

x1-x2

上述结论中正确结论的序号是________. 1

16.已知函数f(x)=log0.5(x+x),下列说法

①f(x)的定义域为(0,+∞);②f(x)的值域为[-1,+∞);③f(x)是奇函数;④f(x)在(0,1)上单调递增.

其中正确的是________.

答案

1.D N={x|x>2},∴用数轴表示集合可得M∩N={x|2

3.C ∵f(2)=log3(22-1)=1,

∴f[f(2)]=f(1)=2e

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=2.

4.C 根据幂函数、指数函数、对数函数的变化趋势即得答案. 5.B ∵幂函数

12

y=x 在[0,+∞)上是增函数,

11 22

又∵0.7<0.8,∴0<0.7 <0.8 . 11

22

log30.7<0,∴log30.7<0.7 <0.8 ,

即c

6.D 由指数与对数函数的图象性质即得答案.

7.A 本题考查函数的定义域、函数的单调性及参数取值范围的探求.因为f(x)=m+2log2x在[1,2]是增函数,且由f(x)≤4,得f(2)=m+2≤4,得m≤2,故选A.

1

8.D 由m-n=loga(1+x)-loga=loga(1-x2)=logay2=2logay,

1-x1

所以logay=2(m-n).故选D.

9.C 经计算知函数零点的近似值可取为1.75.

10.C f(x)=ax与g(x)=logax有相同的单调性,排除A,D;又当a>1时,f(3)g(3)>0,排除B,当0

11.A 由x-log2f(x)=0,得f(x)=2x, 1

∴F(x)=2x-2x=2x-2-x.

∴F(-x)=2-x-2x=-F(x),∴F(x)为奇函数,易知F(x)=2x-2-x在(-∞,+∞)上是增函数.

12.D 由于f(x)为奇函数,且y=x是奇函数,所以g(x)=f(x)-x也应为奇函数,所以由函数g(x)=f(x)-x的零点恰有两个,可得两零点必定分别在(-∞,0)和(0,+∞)上,由此得到函数g(x)=x2-2x+a在(0,+∞)上仅有一个零点,即函数y=-(x-1)2+1与直线y=a在(0,+∞)上仅有一个公共点,数形结合

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易知应为a≤0或a=1,选D.

13.-3

解析:∵?UA={1,2},∴A={0,3}. ∴0,3是方程x2+mx=0的两根,∴m=-3. 1

14.0或3

1

解析:由题意得m=0或Δ=4-12m=0,即m=0或m=3. 15.②③

解析:本题考查对数函数的性质.函数f(x)=lnx满足ln(x1·x2)=ln(x1)+ln(x2);lnx1-lnx2f?x1?-f?x2?由函数f(x)=lnx是增函数,知,即>0成立.故②③正确.

x1-x2x1-x2

16.①④

x2+1

解析:f(x)=log0.5(x); ∴x>0,即定义域为(0,+∞);

1

又∵f(x)=log0.5(x+x),定义域不关于原点对称,则f(x)为非奇非偶函数; 11

又∵x+x≥2,∴log0.5(x+x)≤log0.52=-1. ∴值域为(-∞,-1],②错; 1

又∵x+x在(0,1)上为递减函数, 1

∴log0.5(x+x)在(0,1)上为递增函数.

三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程,只写最后结果的不得分,共70分)

17.(10分)设A={-3,4},B={x|x2-2ax+b=0},B≠?且B?A,求a,b.

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(12分)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2. (1)求f(x)的表达式;

(2)画出f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间.

答案

17.解:由B≠?,B?A知B={-3}或{4}或B={-3,4}. 当B={-3}时,a=-3,b=9; 当B={4}时,a=4,b=16; 1

当B={-3,4}时,a=2,b=-12. 18.解:(1)设x<0,则-x>0,

∴f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2. 又∵f(x)为奇函数,

∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x2+2x-2.

?

又f(0)=0,∴f(x)=?0, x=0,

??-x2+2x+2, x>0.

2x?+2x-2, x<0,

(2)先画出y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y=f(x)(x<0)的图象,其图象如图所示.由图可知,其增区间为[-1,0)和(0,1],减区间为(-∞,-1]和[1,+∞).

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19.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(a≠0)的图象与y轴交于点(0,1),且满足f(-2+x)=f(-2-x)(x∈R).

(1)求该二次函数的解析式及函数的零点;

(2)已知函数在(t-1,+∞)上为增函数,求实数t的取值范围.

20.(12分)已知函数f(x)=2

x2+2x+a

(-2≤x≤2).

(1)写出函数f(x)的单调区间;

(2)若f(x)的最大值为64,求f(x)的最小值.

答案

19.解:(1)因为二次函数为f(x)=ax2+2x+c(a≠0)的图象与y轴交于点(0,1),故c=1.①

2

又因为函数f(x)满足f(-2+x)=f(-2-x)(x∈R),故x=-2a=-2.② 1

由①②得:a=2,c=1.

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1

故二次函数的解析式为:f(x)=2x2+2x+1.

由f(x)=0,可得函数的零点为:-2+2,-2-2.

(2)因为函数在(t-1,+∞)上为增函数,且函数图象的对称轴为x=-2,由二次函数的图象可知:t-1≥-2,故t≥-1.

20.解:(1)f(x)=2

(x+1)2+a-1

(-2≤x≤2),

∴在[-2,-1]上,f(x)为减函数; 在[-1,2]上,f(x)为增函数. 即f(x)的减区间是[-2,-1], f(x)的增区间是[-1,2].

(2)设U(x)=(x+1)2+a-1(-2≤x≤2),则U(x)的最大值为U(2)=8+a,最小值为U(-1)=a-1.故f(x)的最大值为f(2)=28+a,最小值为f(-1)=2a-1.

∵28+a=64,∴a=-2. ∴f(x)的最小值为f(-1)=2

-2-1

1=8.

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??1?????21.(12分)已知函数f(x)=logaa-2x+1?在区间[1,2]上恒为正,求实数a????

的取值范围.

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22.(12分)定义在(0,+∞)上的函数f(x),对于任意的m,n∈(0,+∞),都有f(mn)=f(m)+f(n)成立,当x>1时,f(x)<0.

(1)求证:1是函数f(x)的零点; (2)求证:f(x)是(0,+∞)上的减函数; 1

(3)当f(2)=2时,解不等式f(ax+4)>1.

答案

?1??1?1

21.解:当a>1时,y=?a-2?x+1是减函数,故?a-2?·2+1>1,则a<2,矛

?

?

?

?

?1??1?1

????-2-2盾.当0

12

得2

22.解:(1)证明:对于任意的正实数m,n都有f(mn)=f(m)+f(n)成立,所以令m=n=1,则f(1)=2f(1).∴f(1)=0,即1是函数f(x)的零点.

(2)证明:设0

x2x2

∴f(x2)-f(x1)=f(x).因01. 1

1

而当x>1时,f(x)<0,从而f(x2)

(3)因为f(4)=f(2)+f(2)=1,所以不等式f(ax+4)>1可以转化为f(ax+4)>f(4).因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以0

当a=0时,解集为?;

4

当a>0时,-4

4

解集为{x|-a

4

当a<0时,-4

解集为{x|0

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最新人教A版高一数学必修一单元测试题全套及答案最新人教A版高一数学必修一单元测试题全套及答案第一章单元质量评估时限:120分钟满分:150分一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知全集U=R,集合P={x∈N*|x0},那么图中阴影部分表示的集合是()
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