习题六
6-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同?
答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化．
力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零． 6-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何? 答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．
从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点．
6-3 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系?
答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量．
气体宏观量是微观量统计平均的结果． 6-4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率? Ni Vi(m?s?1) 解：平均速率 21 10.0 4 20.0 6 30.0 8 40.0 2 50.0 V???NV?Niii21?10?4?20?6?30?8?40?2?5021?4?6?8?2
890??21.7?141 m?s
方均根速率
V2??NV?Nii2i21?102?4?202?6?103?8?402?2?502?21?4?6?8?2 ?1?25.6 m?s
6-5 速率分布函数f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度，N为系统总分子数)．
（1）f(v)dv （2）nf(v)dv （3）Nf(v)dv
（4）?v0f(v)dv （5）??0f(v)dv? （6）
v2v1Nf(v)dv
解：f(v)：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区
间内的分子数占总分子数的百分比.
(1) f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比.
(2) nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度． (3) Nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数． (4)(5)
v??0?f(v)dvf(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数占总分子数的百分比．
：表示分布在0~?的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1.
0?(6)v1v2：表示分布在v1~v2区间内的分子数. 6-6 最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用处? 答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有vP的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．
分布函数的特征用最概然速率vP表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率．
6-7 容器中盛有温度为T的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少?为什么? 答：该气体分子的平均速度为0.在平衡态，由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同．从统计看气体分子的平均速度是0.
6-8 在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗? 答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小．
6-9 如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了， 温度也因此而升高吗?
答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化． 6-10 题6-10图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题6-10图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高? 答：图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度高．
Nf(v)dv 题6-10图
6-11 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?
答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度． 6-12 下列系统各有多少个自由度： (1)在一平面上滑动的粒子；
(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币； (3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动． 解：(1) 2，(2)3，(3)6
6-13 试说明下列各量的物理意义．
13ikTkTkT222（1） （2） （3） Mii3RTRTRTM2mol22（4） （5） （6）
1k解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为2T．
3kT(2)在平衡态下，分子平均平动动能均为2.
ikT3i2()在平衡态下，自由度为的分子平均总能量均为.
MiRTMM2(4)由质量为M，摩尔质量为mol，自由度为i的分子组成的系统的内能为mol. iRT(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为2.
3RT32(6) 1摩尔自由度为的分子组成的系统的内能，或者说热力学体系内，1摩尔分子的3RT平均平动动能之总和为2.
6-14 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同?
(1)分子数密度；(2)气体质量密度；(3)单位体积内气体分子总平动动能；(4)单位体积内气体分子的总动能． 解：(1)由(2)由
p?nkT,n?pkT知分子数密度相同；
??MMmolp?VRT知气体质量密度不同；
3nkT(3)由2知单位体积内气体分子总平动动能相同；
inkT(4)由2知单位体积内气体分子的总动能不一定相同．
6-15 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数?
解：在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和．对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为M的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能．
由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即
E?MiRTMmol2是温度的单值函数．
6-16 如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么? (1)分子的平均平动动能；(2)分子的平动动能；(3)内能．
3kT21解：()相等，分子的平均平动动能都为．
53kTkT22(2)不相等，因为氢分子的平均动能，氦分子的平均动能． 53?RT?RT(3)不相等，因为氢分子的内能2，氦分子的内能2．
6-17 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为
-42
2.0×10m，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为
-1
27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg·mol)?
MRTMmol解：由理想气体状态方程 得
pVM?MmolRT
pV?dHg?1.33?105N?m?3汞的重度
氦气的压强
P?(0.76?0.60)?dHg
?4V?(0.88?0.60)?2.0?10m3 氦气的体积
M?0.004??0.004?
(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)R(273?27)
?4(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10)8.31?(273?27)?6
?1.91?10(1)分布函数f(v)的表达式； (2)a与
6-18 设有N个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求
Kg
v0之间的关系；
vv0之间的粒子数．
(3)速度在1.50到2.0(4)粒子的平均速率． (5)0.5
v0到1v0区间内粒子平均速率．
题6-18图
解：(1)从图上可得分布函数表达式
?Nf(v)?av/v0??Nf(v)?a?Nf(v)?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0)(v?2v0)
(0?v?v0)?av/Nv0?f(v)??a/N(v0?v?2v0)?0(v?2v0)?
f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下的总面积为N，
(2)由归一化条件可得
(3)可通过面积计算
2v0av?0Nv0dv?N?v0adv?N1?N?a(2v0?1.5v0)?N3
v0a?2N3v0
(4) N个粒子平均速率
v???02v0av2v01?vf(v)dv??vNf(v)dv??dv??avdv0v0N0v0
1123211v?(av0?av0)?v0N329
(5)
0.5v0到1v0区间内粒子平均速率
Nv0vdN?N1N1?0.5v0N Nv0Nv0av2?vf(v)dv?dv??0.5v0.5v00N1Nv0 N1332av01v0av21av017av0v?dv?(?)?N1?0.5v0v0N13v024v0N124
0.5v0到1v0区间内粒子数
0.5v0?v?v0vdNN1?6-19 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于
分子数占总分子数的百分比．
131(a?0.5a)(v0?0.5v0)?av0?N284
27av07vv??06N9
vp?vp?100?1vp?vp?100?1与
之间的
u?解：令
因为u?1,?u?0.02
vvP，则麦克斯韦速率分布函数可表示为
dN42?u2?ueduN?
?N42?u2?ue?uN?由 得
?N4??1?e?1?0.02?1.66%N?
6-20 容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求
(1)单位体积中的分子n；(2)氧分子的质量m；(3)气体密度?；(4)分子间的平均距离e；(5)平均速率v；(6)方均根速率v；(7)分子的平均动能ε． 解：(1)由气体状态方程p?nkT得
2(2)氧分子的质量
p0.1?1.013?10524n???2.45?10kT1.38?10?23?300m?3
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