13年高考真题 - 理科数学（新课标I卷）

2013年高考真题理科数学（解析版） 新课标II卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标I卷

数学（理科）

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的一项。

1．已知A?x|x2?2x?0，B?x|?5?x?5，则( ) （A）A????B?? （B）AB?R （C）B?A （D）A?B

2．若复数z满足?3?4i?z?|4?3i|，则z的虚部为( ) （A）?4 （B）?45 （C）4 （D）45

3．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） （A）简单随机抽样 （B）按性别分层抽样 （C）按学段分层抽样 （D）系统抽样

x2y254．已知双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的离心率为，则

ab2C的渐近线方程为( ) （A）y??x4 （B）y??x3

（C）y??x2 （D）y??x

5．运行如右的程序框图，如果输入的

t??1,3?，则输出s属于( ) （A）??3,4?

（B）??5,2? （C）??4,3? （D）??2,5?

6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )

500?3866?3cm （B）cm 331372?2048?cm3 （D）cm3 （C）33（A）

7．设等差数列?an?的前n项和为Sn，Sm?1??2，

Sm?0，Sm?1?3，则m?( )

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

8．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( ) （A）（C）（D）8?16? 16?8? （B）8?8? 16?16?

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9．设m为正整数，?x?y?2m展开式的二项式系数的最大值为a，?x?y?2m?1展开式的

二项式系数的最大值为b，若13a?7b，则m?( ) （A）5 （B）6 （C）7 （D）8

x2y2 10．已知椭圆E:2?2?1?a?b?0?的右焦点为F?3,0?，过点F的直线交椭圆于

abA,B两点。若AB的中点坐标为?1,?1?，则E的方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 （B）??1 （C）??1 （D）??1 （A）

4536362727181892???x?2x ?x?0?11．已知函数f?x???，若|f?x?|?ax，则a的取值范围是( ) lnx?1 x?0??????（A）???,0? （B）???,1? （C）??2,1? （D）??2,0?

12．设?AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，?AnBnCn的面积为Sn，n?1,2,3,。若

b1?c1，b1?c1?2a1,an?1?an，bn?1?cn?anb?an，cn?1?n，则( ) 22（A）?Sn?为递减数列 （B）?Sn?为递增数列 （C）?S2n?1?为递增数列，?S2n?为递减数列 （D）?S2n?1?为递减数列，?S2n?为递增数列

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13．已知两个单位向量a,b的夹角为60，c?ta??1?t?b，若b?c?0，则t?_____。

014．数列?an?的前n项和为Sn?21an?，则数列?an?的通项公式是an=__________。 3315．当x??时，函数f?x??sinx?2cosx取得最大值，则cos??______。 16．若函数f?x??1?x2是______。

???x2?ax?b?的图像关于直线x??2对称，则f?x?的最大值

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）如图，在?ABC中，

?ABC?900，AB?3，BC?1，P为?ABC内

一点，?BPC?90。⑴若PB?01，求PA；⑵若2?APB?1500，求tanPBA。

18．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，CA?CB，AB?AA1，

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?BAA1?600。⑴证明：AB?A1C；⑵若平面ABC⊥平

面AA1B1B，AB?CB?2，求直线A1C与平面BB1C1C所

成角的正弦。

19．（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n?3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n?4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为

1，且各2件产品是否为优质品相互独立。⑴求这批产品通过检验的概率；⑵已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。

20．（本小题满分12分）已知圆M：?x?1??y?1，圆N：?x?1??y?9，动

2222圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。⑴求C的方程；⑵l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|。 21．（本小题满分共12分）已知函数f?x??x?ax?b，g?x??e2x?cx?d?，若曲线

y?f?x?和曲线y?g?x?都过点P?0,2?，且在点P处有相同的切线y?4x?2。⑴求

a,b,c,d的值；⑵若x??2时，f?x??kg?x?，求k的取值范围。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22．（本小题满分10分）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，?ABC的角平分B线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。⑴证D明：DB?DC；⑵设圆的半径为1，BC?3，延长CE交AB于点F，求?BCF外接圆的半径。

23．（本小题10分）已知曲线C1的参数方程为

FECA?x?4?5cost（t为参数），以坐标原点为极点，x??y?5?5sint轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2sin?。⑴把C1的参数方程化为极坐标方程；⑵求C1与C2交点的极坐标（??0，0???2?)。

24．（本小题满分10分）已知函数f?x??|2x?1|?|2x?a|，g?x??x?3。⑴当a??2第 - 3 - 页 共 7 页

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时，求不等式f?x??g?x?的解集；⑵设a??1，且当x???a2,12?时，f?x??g?x?，求a的取值范围。

2013年普通高校招生全国统考数学试卷新课标I卷解答

一．BDCCA ACABD DB 二．13．2；14．??2?n?1；15．?255；16．16

00 17．解：⑴由题?PBC?60，故?PBA?30，PA?3?因此PA?2117?2?3?cos300?，42472；

⑵设?PBA??，则PB?sin?。在?PBA中，有

3sin??，化简可得

sin150osin?300???3cos??4sin?，故tan??34，即tanPBA?34。

0 18．解：⑴取AB中点E，连CE,A1B,A1E。因AB?AA1，?BAA1?60，故?BAA1是

正三角形，从而A1E⊥AB。因CA?CB，故CE⊥AB。因CEA1E?E，故AB⊥平面

CEA1，所以AB⊥A1C；

⑵由⑴知EC⊥AB，EA1⊥AB，又平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面

ABB1A1?AB，故EC⊥平面ABB1A1，从而EC⊥EA1，故EA,EC,EA1两两垂直。以E为

坐标原点，EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O?xyz， 有题知A?1,0,0?，A10,3,0，C0,0,3，

11????B??1,0,0?,则BC??1,0,3?,BB?AA???1,0,3?,AC??0,?13,3。设

????n?BC?0?x?3z?0，即?，取n?n??x,y,z?是平面CBB1C1的法向量，则????n?BB1?0?x?3y?0?3,1,?1，

??则cosn,AC1n?AC10101?，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为。

55|n||AC1|第 - 4 - 页 共 7 页

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19．解：⑴设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E??AB?且AB?CD?，

与CD互斥，故P?E??P?AB??P?CD??P?A?P?B|A??P?C?P?D|C??

?1?1?1??1?13C???????????； ?2?2?2??2?264343441?1?13?1? ⑵X的可能取值为400,500,800，并且P?X?400??1?C4， ???????22216????1113?1?P?X?500??，P?X?800??C4??，故X的分布??16?2?24列如右表所示，且EX?400?3341114?500??800??506.25。 161616X 400 500 800 1111 P16164 20．解：⑴由题知M??1,0?，N?1,0?，设动圆P的圆心为P?x,y?，半径为R，

则|PM|?|PN|??R?1???3?R?4。故曲线C是以M,N为左右焦点，长轴长为4，

x2y2?1?x??2?； 短轴长为23的椭圆(左顶点除外)，其方程为?43 ⑵对于曲线C上任意一点P?x,y?，由于|PM|?|PN|?2R?2?2，故R?2,

当且仅当P?2,0?时取等。所以当圆P的半径最长时，其方程为?x?2??y2?4。 当l的倾斜角为900时，则l与y轴重合，可得|AB|?23；当l的倾斜角不为900时，

R1，可求得Q??4,0?，由题知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则|QP||QM|?2故可设l：y?k?x?4?，由l于圆M相切得|3k|k?24时，将y?x1,2=?4?621?k2?1，解得k??24。当

2x?2代入C的方程并整理得7x2?8x?8?0，解得4??7，因此|AB|?1?k2|x1?x2|?187；当k??24时，由图形的对

称性可知|AB|?187。综上，|AB|?187或|AB|?23。

21．解：⑴由已知得f?0??2，g?0??2，f??0??4，g??0??4，而f??x??2x?b，

g?(x)=g??x??ex?cx?d?c?，故a?4，b?c?d?2；

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