f(u)?C1e2u?C2e?2u其中C1,C2为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为y*??1u． 41u． 411,C2??． 1616故非齐次方程通解为f(u)?C1e2u?C2e?2u?将初始条件f(0)?0,f'(0)?0代入，可得C1?所以f(u)的表达式为f(u)?18．（本题满分10分） 求幂级数
12u1?2u1e?e?u． 16164?(n?1)(n?3)xn?0?n的收敛域、和函数．
【详解】 由于liman?1?1，所以得到收敛半径R?1．
n??an当x??1时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为??1,1?． 令和函数S(x)???(n?1)(n?3)xn?0?n，则
???n?2???n?1?S(x)??(n?4n?3)x??(n?2)(n?1)x??(n?1)x????x??\????x??'n?1n?1n?1?n?1??n?1?2nnn??x??x?3?x???\?'???3?1?x????1?x?(1?x)19．（本题满分10分）
设函数f(x),g(x)在区间?a.b?上连续，且f(x)单调增加，0?g(x)?1，证明： （1） 0?（2）
2
?bxag(t)dt?x?a,x??a,b?；
f(x)dx??f(x)g(x)dx．
ab?a??ag(t)dta【详解】
（1）证明：因为0?g(x)?1，所以即0??xa0dx??g(t)dt??1dtx??a,b?．
aaxx?xag(t)dt?x?a,x??a,b?．
（2）令F(x)?
?xaf(u)g(u)du??a??ag(t)dtxaf(u)du，
6
x?则可知F(a)?0，且F'(x)?f(x)g(x)?g(x)f?a??g(t)dt??，
a??因为0??xag(t)dt?x?a,且f(x)单调增加，
所以f??a???xag(t)dt???f(a?x?a)?f(x)．从而
?x?F'(x)?f(x)g(x)?g(x)f?a??g(t)dt???f(x)g(x)?g(x)f(x)?0， x??a,b?
?a?也是F(x)在?a,b?单调增加，则F(b)?F(a)?0，即得到
b?a??ag(t)dtbaf(x)dx??af(x)g(x)dx．
20．（本题满分11分）
?设A??1?23?4??01?11??，E为三阶单位矩阵． ??1203??（1） 求方程组AX?0的一个基础解系； （2） 求满足AB?E的所有矩阵．
【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：
?1?23?4??1?23?4??1?A???01?11?????01?11????23?4??01?11?????1?0??1203????04?31????001?3????0得到方程组AX?0同解方程组
??x1??x4?x?2?2x4 ?x3?3x4???1?得到AX?0的一个基础解系??2??1???3?．
???1????x1y1z1?（2）显然B矩阵是一个4?3矩阵，设B??x2yz??22??xy?33z 3??x4y4z?4??对矩阵(AE)进行进行初等行变换如下：
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001?10?2??，01?3??
?1?23?4?(AE)??01?11?1203??1?23?41???01?110?001?3?1?100??1?23?4100????010???01?11010???001???04?31?101?
00??100126?1????10???010?2?1?31????41???001?3?1?41?由方程组可得矩阵B对应的三列分别为
?x1??2???1??y1??6???1??z1???1???1????????????????????x2???1??2??y2???3??2??z2??1??2???c??c??c，，?x???1?1?3??y???4?2?3??z??1?3?3?， ?3??????3??????3??????1??y??0??1??z??0??1??x??0????4??????4??????4???即满足AB?E的所有矩阵为
?2?c1???1?2c1B???1?3c1??c1?其中c1,c2,c3为任意常数． 21．（本题满分11分）
6?c2?3?2c2?4?3c2c2?1?c3??1?2c3? ?1?3c3?c3???1??1证明n阶矩阵????1?1?1??0?01????1?1??0?02?与?相似． ????????????1?1??0?0n??1?1??0?01????1?1?0?02??，． B???????????????1?1??0?0n??1??1【详解】证明：设A? ????1?分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
??1?E?A??1??1?1??1??1?1??(??n)?n?1，
??1????1所以A的n个特征值为?1?n,?2??3???n?0；
????而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且A~????
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??0?；
???0????E?B?0?00??1?2??(??n)?n?1
???0???n所以B的n个特征值也为?1?n,?2??3???n?0；
对于n?1重特征值??0，由于矩阵(0E?B)??B的秩显然为1，所以矩阵B对应n?1重特征值??0的特征向量应该有n?1个线性无关，进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对
????角化，且B~??????0? ???0??1?1??0?01????1?1??0?02?与?相似． ????????????1?1??0?0n???1??1从而可知n阶矩阵????1?22．（本题满分11分）
设随机变量X的分布为P(X?1)?P(X?2)?1，在给定X?i的条件下，随机变量Y服从均匀分布2U(0,i),i?1,2．
（1） 求Y的分布函数； （2） 求期望E(Y). 【详解】（1）分布函数
F(y)?P(Y?y)?P(Y?y,X?1)?P(Y?y,X?2)?P(Y?y/X?1)P(X?1)?P(Y?y/X?2)P(X?2) ?当y?0时，F(y)?0；
1?P(Y?y/X?1)?P(Y?y/X?2)?2当0?y?1时，F(y)?11y3y??y； 2224当1?y?2时，F(y)?11y11??y?； 22242当y?2时，F(y)?1． 所以分布函数为
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,y?0?0?3?y,0?y?1?4F(y)??
?1?y,1?y?2?24?1,y?2??3?4,0?y?1??1（2）概率密度函数为f(y)?F'(y)??,1?y?2，
?4?,?0其它?E(Y)??2y33ydy??dy?． 04144123．（本题满分11分）
设随机变量X，Y的概率分布相同，X的概率分布为P(X?0)?12,P(X?1)?，且X，Y的相关系数33?XY?1． 2（1） 求二维随机变量(X,Y)的联合概率分布； （2） 求概率P(X?Y?1)．
[详解]由于X，Y的概率分布相同，故P(X?0)?1212,P(X?1)?，P(Y?0)?,P(Y?1)?， 3333显然EX?EY?22，DX?DY? 39相关系数?XY?1COV(X,Y)E(XY)?EXEY???2DXDYDXDYE?XY??2949，
所以E(XY)?5． 95，从而得到(X,Y)的联合概率分布： 9而E(XY)?1?1?P(X?1,Y?1)，所以P(X?1,Y?1)? 10
P(X?1,Y?1)?5112，P(X?0,Y?1)?，P(X?1,Y?0)?，P(X?0,Y?0)? 99994. 9（2）P(X?Y?1)?1?P(X?Y?1)?1?P(X?1,Y?1)? 11
2014年考研数学三真题与解析
