2014年考研数学三真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1．设liman?a?0，则当n充分大时，下列正确的有（ ）
n??（A）an?a2 （B）an?a2 （C）an?a?11 (D)an?a? nn【详解】因为liman?a?0，所以???0，?N，当n?N时，有an?a??，即a???an?a??，
n??a???an?a??，取??2．下列曲线有渐近线的是
a2，则知an?a2，所以选择（A）
（A）y?x?sinx （B）y?x?sinx
2（C）y?x?sin112 （D）y?x?sin
xx【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于y?x?sin应该选（C）
3．设P(x)?a?bx?cx?dx，则当x?0时，若P(x)?tanx是比x高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）
（A）a?0 （B）b?1 （C）c?0 （D）d?231y1，可知lim?1且lim(y?x)?limsin?0，所以有斜渐近线y?x
x??xx??x??xx31 6【详解】只要熟练记忆当x?0时tanx?x?131显然a?0,b?1,c?0,d?，应该选（D） x?o(x3)，
334．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（ ）
（A）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （B）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （C）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （D）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两
1
点x1,x2及常数0???1，恒有f?(1??)x1??x2??(1??)f(x1)??f(x2)，则曲线是凸的． 显然此题中x1?0,x2?1,??x，则(1??)f(x1)??f(x2)?f(0)(1?x)?f(1)x?g(x)，而
f?(1??)x1??x2??f(x)，
故当f??(x)?0时，曲线是凹的，即f?(1??)x1??x2??(1??)f(x1)??f(x2)，也就是f(x)?g(x)，应该选（D）
【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令
F(x)?f(x)?g(x)?f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则F(0)?F(1)?0，且F\(x)?f\(x)，故当f??(x)?0时，曲线是凹的，从而F(x)?F(0)?F(1)?0，即F(x)?f(x)?g(x)?0，也就是f(x)?g(x)，应该选（D）
0a５．行列式
b0d020b0d2a0c0c0等于
（A）(ad?bc) （B）?(ad?bc) （C）ad?bc （D）?ad?bc 【详解】
222222220aac00b00b0ac??adac0ba0b0c0dacbd
0cd??a0d0?b0c0d0dbd?bc??ad(ad?bc)?bc(ad?bc)??(ad?bc)2应该选（B）．
6．设?1,?2,?3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量?1,?2,?3线性无关的
（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 【详解】若向量?1,?2,?3线性无关，则
2
?10???（?1?k?3，?2?l?3）?(?1,?2,?3)?01??(?1,?2,?3)K，对任意的常数k,l，矩阵K的秩都等
?kl???于2，所以向量?1?k?3，?2?l?3一定线性无关．
?1??0??0???????而当?1??0?,?2??1?,?3??0?时，对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关，但
?0??0??0????????1,?2,?3线性相关；故选择（A）．
7．设事件A，B想到独立，P(B)?0.5,P(A?B)?0.3则P(B?A)?（ ）
（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4
【详解】P(A?B)?0.3?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B)?P(A)?0.5P(A)?0.5P(A)． 所以P(A)?0.6，P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.5P(A)?0.2．故选择（B）． 8．设X1,X2,X3为来自正态总体N(0,?) 的简单随机样本，则统计量S?（A）F(1,1) （B）F(2,1) （C） t(1) （D）t(2) 【详解】S?2X1?X22X3服从的分布是
X1?X22X3?X1?X22X23，显然
X1?X22?~N(0,1)，
X32?2~?2(1)，且
X1?X22?~N(0,1)与
X1?X2X32?2~?2(1)相互独立，从而S?X1?X22X3?X1?X22X23?2?X32~t(1)
?2故应该选择（C）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．设某商品的需求函数为Q?40?2p（p为商品的价格），则该商品的边际收益为 ． 【详解】R(p)?pQ?40p?2p，边际收益R'(p)?40?4p．
10．设D是由曲线xy?1?0与直线x?y?0及y?2所围成的有界区域，则D的面积为 ． 【详解】S?
2?10dy?dx??dy?1dx??y1?y0201?ln2 23
11．设
?a0xe2xdx?a1，则a? ． 4【详解】
?01e2xe2a11axedx??(2x?1)|0?(2a?1)?．所以a?.
444422x2?ex?y2??12．二次积分?dy??edx? ．
?0y?x??11x?ex1xe112?yy2??dx?dxdy?edy?dye?0?y?x?0?0x?0?ydx???1122【详解】
??exdx01212ex??dx?dy??ey(1?y)dy 00x011121y2y2??edy??yedy??yeydy?(e?1)00021x22213．设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是 ．
【详解】由配方法可知
2f(x1,x2,x3)?x12?x2?2ax1x3?4x2x3?(x1?ax3)?(x2?2x3)?(4?a)x由于负惯性指数为1，故必须要求4?a?0，所以a的取值范围是??2,2?．
222223
?2x,??x?2??14．设总体X的概率密度为f(x,?)??3?2，其中?是未知参数，X1,X2,?,Xn是来自总
??0,其它体的简单样本，若C?Xi?1n2i是?的无偏估计，则常数C= ．
2【详解】E(X)?2????n?n2?522x5222C?Xi??Cn?，所以E?由于C?Xi是?的无偏估计，xdx??，??2223?i?1?i?1?2故Cn52． ?1，C?25n三、解答题
15．（本题满分10分）
?求极限limx???x1(t(e?1)?t)dt1x2ln(1?)x．
21t 4
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】
1?x21(et?1)?t)dtx2t1xxlim1(t?????1(t(e?1)?t)dtx2ln(1?1xlim???x?limx??(x2(e?1)?x)x)
?lim?x????x2(1x?11?12x2?o(x2)?x???216．（本题满分10分）
设平面区域D??(x,y)|1?x2?y2?4,x?0.y?0?．计算??xsin(?x2?y2)dxdy Dx?y【详解】由对称性可??xsin(?x2?y2)ysin(?x222dxd?y2)1(x?y)sin(?x?y)Dx?y???Dx?ydxd?2??ydxdyDx?22?
?1sin(?x?y)2??dxd?1223D12?0d??1rsin?rdr??417．（本题满分10分）
设函数f(u)具有二阶连续导数，z?f(excosy)满足?2z?2z?x2?x?y2?(4z?ecosy)e2x．f(0)?0,f'(0)?0，求f(u)的表达式．
【详解】
设u?excosy，则z?f(u)?f(excosy)，
?z?f'(u)excosy?2z?x,?x2?f\(u)e2xcos2y?f'(u)excosy; ?z?y??f'(u)exsiny,?2z?y2?f\(u)e2xsin2y?f'(u)excosy； ?2z?x2??2z?y2?f\(u)e2x?f\(excosy)e2x 由条件?2z?2z?x2??y2?(4z?excosy)e2x， 可知
f\(u)?4f(u)?u
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
5
得
若
2014年考研数学三真题与解析
