牡丹江师范学院教案
学院系别：理学院 教师姓名：许宏文 授课时间:2014年5月29日
课程名称 授课内容 数学分析（2） 授课专业和班级 1301 1学时 第一积分中值定理与变上限积分函数的性质 授课学时 理解积分第一中值定理，掌握被积函数连续状态下的积分第一中值定理。理解变上教学目的 限积分函数，掌握变上限积分函数的性质，能够熟练地对和变上限积分函数有关的函数求导，同时培养学生具体问题具体分析的辨证逻辑思维能力。 教学重点 教学难点 教具和媒体使用 教学方法 积分第一中值定理，变上限积分函数及其性质 变上限积分函数及其性质 PPT 启发式 几何直观 讲练结合 包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、时间分配问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容 (45分钟) 教 学 过 程 一、复习换元积分法定积分的基本性质，从乘积的可积性导出新课，给出教学目的； 二、开门见山，给出积分第一中值定理，教师和学生一起来证明。在教师的引导和启发下，给出积分第一中值定理的两个推论。 三、以解决问题2的需要，给出变上限积分函数的定义，并给出几何直观的意义，同时给出如下函数 1． F(x)??x0e?tdt 2． G(x)??2x1sintdt t四、几何直观地探究变上限积分函数的性质，给出证明；对变上限积分函数的求导做出说明，并求解上面给出的两个函数的导数；对可微性定理做出说明，强调其为微积分学基本定理。 五、为深刻理解变上限积分函数及其导数求解，求解例题；作为变上限积分的应用，推广积分第一中值定理； 六、做两个重要的总结 9．4积分第一中值定理与微积分学基本定理 4 8 6 17 8 2 板 书 设 计 定理1．积分第一中值定理 变上限积分函数 处理例题1 推论1 F(x)??x0e?tdt 例题2 x2推论2 G(x)??1sintdt t定理3 微积分学基本定理 定理2 变上限积分函数的性质定理 讲授新拓展内容 说明带有积分的不等式的证明在偏微分方程理论中总要进行，以此来总结积分第一中值定理与变上限积分函数的重要作用。 总结一、解决了本次课程的两个目的 课后总结 总结二、总结积分第一中值定理与变上限积分函数的类似的重要作用 系主任 年 月 日
教学过程全设计与教学内容 教学内容 一、复习与引课，并说明本节课的教学内容。 在定积分这一章前三次课程课程中我们共同研究了定积分的定义，判断函数可积的可积准则，并在概念与可积准则的基础上，研究了定积分的基本性质。现在大家和老师共同回忆下，定积分有哪些性质：学生回答，教师PPT两页演示。 今天这节课程，利用定积分的基本性质来解决两个重要的问题：教师PPT演示 问题1 备注 ?baf(x)?g(x)dx与函数f,g?R[a,b]之间的关系？ 问题2 连续函数都必有原函数存在，为什么？ 为解决这样两个问题，我们今天来学习 9.4节：第一积分中值定理与微积分学基本定理（板书） 二．积分第一中值定理 1. 首先，开门见山给出积分第一中值定理： 教师PPT演示； 定理1 若函数f,g?R[a,b]，且函数g(x)在区间[a,b]上不变号，则存在一个??[m,M]使得 ?baf(x)?g(x)dx???g(x)dx ab2.证明定理1（板书证明） 因f?R[a,b]，所以f在[a,b]上有界，令M?supf(x), m?inff(x).自然有： x?[a,b]x?[a,b]m?f(x)?M， 我们假定g(x)?0, ?x?[a,b]，有m?g(x)?f(x)?g(x)?M?g(x) 取定积分有 m?g(x)dx??f(x)?g(x)dx?M?g(x)dx （1） aaabbbI)若?g(x)dx?0，则有 ab? m?baf(x)?g(x)dx?bag(x)dx?M 记 ?baf(x)?g(x)dx?bag(x)dx???[m,M] （2） 则有 ?baf(x)?g(x)dx???g(x)dx ab注：?与积分区间[a,b]和函数f,g?R[a,b]均有关。 2）2)若?g(x)dx?0，则有根据不等式1有?f(x)?g(x)dx?0 aabb所以对任意的??[m,M]，均有?f(x)?g(x)dx???g(x)dx?0。 aabb总结并板书定理1 3. 教师引导学生研究定理1中f?C[a,b]与g(x)?1时的结论，学生探究，教师板书结论 推论1：若函数f?C[a,b]，g?R[a,b]，且函数g(x)在区间[a,b]上不变号，则存在至少一个??[a,b]使得 ?baf(x)?g(x)dx?f(?)??g(x)dx ab推论2：存在??[m,M],??[a,b]使 ?ba??(b?a) ,f?R[a,b] f(x)dx???f(?)(b?a), f?C[a,b]总结第一个问题：并说明我们所运用的教材上的积分第一中值定理恰好是我们今天讲解的两个推论。说明积分第一中值定理的作用。下面我们来解决本节课程要解决的第二个问题。大家和老师一起认识一类新的函数，并运用推论2来研究这类函数的微分学性质。 三、变上限积分函数及其性质 微积分学基本定理 1、 认识变上限积分函数（PPT演示） 如果函数f?R[a,b]，对?x?[a,b]，函数f(x)?R[a,x]，于是有唯一的积分值?xaf(x)dx. 做从集合[a,b]到实数集合R的对应关系：x??f(x)dx, 分析其为映ax射，即为函数。 记F(x)??f(t)dt, x?[a,b]. 同理也可定义变下限的定积分（或称变下限积分函ax数）。 2、 板书给出两个变上限积分函数 F1(x)??e?tdt, F2(x)??0x2x1sintdt t3、结合PPT中几何图形，引导学生和教师共同研究变上限积分的连续性与可微性； 对? x?(a,b)，给其增量?x, 保证x+?x?[a,b]，则有函数增量 ?F?F(x+?x)?F(x)??x+?xaf(t)dt??f(t)dt??axx+?xxf(t)dt ????x ,f?R[a,b] (1) ??，注意对?,?的说明。 ?f(?)??x, f?C[a,b] (2)进而 1）当f?R[a,b]时有 ?x?0lim?F?lim???x?0 （有界乘无穷小量） ?x?0从而F(x)在点x连续，进而在区间(a,b)上连续。同理可以证明F(x)在点a,b分别右连续和左连续，则F(x)在[a,b]上连续。 2）当f?C[a,b]时有 ?F?limf(?)?f(lim?)?f(x), ??(a,b) ?x?0?x?x?0?x?0lim从而F(x)在点x可导，且F?(x)?f(x)。同理可以证明F(x)在点a,b分别右导数，左导数存在，分别等于f(a),f(b)，则F(x)在[a,b]上可导。 板书定理2 （变上限积分函数的性质），对可导性加以说明，并给出前面两个例子的导数。 sinxF1?(x)?e?x, F2?(x)? x2把可导情形换一种表达方式板书，并指出这就是原函数存在性定理，也称做是微积
数学分析第一积分中值定理与微积分学基本定理
