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高考数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第五节数列的求和 理

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第五节 数列的求和

知识梳理

一、直接用等差、等比数列的求和公式求和 1.等差数列{an}的前n项和公式.

Sn=

na1+an2

=na1+

nn-1

2

d.

2.等比数列{an}的前n项和公式.

na1,q=1,??

Sn=?a11-qn,q≠1.??1-q二、错位相减法求和

(注意:公比含字母时一定要讨论)

例如{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求a1b1+a2b2+…+anbn的和就适用此法.做法是先将和的形式写出,再给式子两边同乘或同除以公比q,然后将两式相减,相减后以“q”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项,不要遗漏掉).

三、分组求和

把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和. 四、并项求和

例如求100-99+98-97+…+2-1的和可用此法. 五、裂项相消法求和

2

2

2

2

2

2

n

把数列的通项拆成两项之差,正负相消,剩下首尾若干项. 1.特别是对于?法,即利用

c?

?,其中{an}是各项均不为0的等差数列,通常用裂项相消?anan+1?

?

cc11=-(其中d=an+1-an). anan+1danan+1

2.常见的拆项. 1nn+1

1

11=-;nn+1

1

2n-11n+1

2n+1-

1?1?1-=??;

2?2n-12n+1?1

nn+1n+2

1?=?2?nn+1

?; n+2??

!.

n·n!=(n+1)!-n!;

六、公式法求和

nnn+1!11-n!n+1

?k=

k=1

nn+1

2

;? (2k-1)=n;?k=

2

2

nnnn+1

6

2n+1

k=1k=1

?nn+1?2. 3

k=???

nk=1

?

2

?

七、倒序相加法求和

如果一个数列{an}多与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和就是用此法推导的.

八、其他方法求和

如归纳猜想法、奇偶分拆法等. 基础自测

1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27

解析:由等差数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,∴9,36-9,S9-36成等差数列,即54=9+S9-36.∴S9=81.∴a7+a8+a9=81-36=45.故选B.

答案:B

2.(2013·三亚质检)若数列{an}的通项公式是an=(-1)(2n-1),则a1+a2+

na3+…+a100=( )

A.-200 B.-100 C.200 D.100

解析:由题意知,a1+a2+a3+…+a100 =-1+3-5+7+…+(-1)×(2×100-1)

=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.故选D. 答案:D

3.等差数列{an}中,a3=8,a7=20,若数列?为________.

解析:∵公差d=∴

1=

?

?的前?anan+1?

100

1?

n项和为,则n的值

425

a7-a3

7-31

=3,∴通项公式为an=a3+(n-3)×3=3n-1(n∈N).

111

=-. 33n-13n+2

1?1?14-=,解得n??3?23n+2?25

*

anan+13n-13n+2

1?1?1

用裂项求和法求得其前n项和为Sn=?-?.令

3?23n+2?=16.

答案:16

4.在10到2 000之间,形如2(n∈N)的各数之和为__________. 解析:满足条件的数中,最小的是2,最大的是2, 所以S=2+2+…+2=答案:2 032

4

5

10

4

10

n*

2

4

1-21-2

7

=(2-1)×2=2 032.

74

1.(2012·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列?

?

1?

?anan+1?

?的前100项和为( )

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第五节数列的求和知识梳理一、直接用等差、等比数列的求和公式求和1.等差数列{an}的前n项和公式.Sn=na1+an2=na1+nn-12d.2.等比数列{an}的前n项和公式.na1,q=
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