第五节 数列的求和
知识梳理
一、直接用等差、等比数列的求和公式求和 1.等差数列{an}的前n项和公式.
Sn=
na1+an2
=na1+
nn-1
2
d.
2.等比数列{an}的前n项和公式.
na1,q=1,??
Sn=?a11-qn,q≠1.??1-q二、错位相减法求和
(注意:公比含字母时一定要讨论)
例如{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求a1b1+a2b2+…+anbn的和就适用此法.做法是先将和的形式写出,再给式子两边同乘或同除以公比q,然后将两式相减,相减后以“q”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项,不要遗漏掉).
三、分组求和
把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和. 四、并项求和
例如求100-99+98-97+…+2-1的和可用此法. 五、裂项相消法求和
2
2
2
2
2
2
n
把数列的通项拆成两项之差,正负相消,剩下首尾若干项. 1.特别是对于?法,即利用
c?
?,其中{an}是各项均不为0的等差数列,通常用裂项相消?anan+1?
?
cc11=-(其中d=an+1-an). anan+1danan+1
2.常见的拆项. 1nn+1
1
11=-;nn+1
1
2n-11n+1
2n+1-
1?1?1-=??;
2?2n-12n+1?1
nn+1n+2
1?=?2?nn+1
=
?; n+2??
!.
n·n!=(n+1)!-n!;
六、公式法求和
nnn+1!11-n!n+1
?k=
k=1
nn+1
2
;? (2k-1)=n;?k=
2
2
nnnn+1
6
2n+1
;
k=1k=1
?nn+1?2. 3
k=???
nk=1
?
2
?
七、倒序相加法求和
如果一个数列{an}多与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和就是用此法推导的.
八、其他方法求和
如归纳猜想法、奇偶分拆法等. 基础自测
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27
解析:由等差数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,∴9,36-9,S9-36成等差数列,即54=9+S9-36.∴S9=81.∴a7+a8+a9=81-36=45.故选B.
答案:B
2.(2013·三亚质检)若数列{an}的通项公式是an=(-1)(2n-1),则a1+a2+
na3+…+a100=( )
A.-200 B.-100 C.200 D.100
解析:由题意知,a1+a2+a3+…+a100 =-1+3-5+7+…+(-1)×(2×100-1)
=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.故选D. 答案:D
3.等差数列{an}中,a3=8,a7=20,若数列?为________.
解析:∵公差d=∴
1=
?
?的前?anan+1?
100
1?
n项和为,则n的值
425
a7-a3
7-31
=3,∴通项公式为an=a3+(n-3)×3=3n-1(n∈N).
111
=-. 33n-13n+2
1?1?14-=,解得n??3?23n+2?25
*
anan+13n-13n+2
1?1?1
用裂项求和法求得其前n项和为Sn=?-?.令
3?23n+2?=16.
答案:16
4.在10到2 000之间,形如2(n∈N)的各数之和为__________. 解析:满足条件的数中,最小的是2,最大的是2, 所以S=2+2+…+2=答案:2 032
4
5
10
4
10
n*
2
4
1-21-2
7
=(2-1)×2=2 032.
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1.(2012·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列?
?
1?
?anan+1?
?的前100项和为( )
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第五节数列的求和 理



