第五节 数列的求和
知识梳理
一、直接用等差、等比数列的求和公式求和 1．等差数列{an}的前n项和公式．
Sn＝
na1＋an2
＝na1＋
nn－1
2
d.
2．等比数列{an}的前n项和公式．
na1，q＝1，??
Sn＝?a11－qn，q≠1.??1－q二、错位相减法求和
(注意：公比含字母时一定要讨论)
例如{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和就适用此法．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q，然后将两式相减，相减后以“q”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)．
三、分组求和
把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和． 四、并项求和
例如求100－99＋98－97＋…＋2－1的和可用此法． 五、裂项相消法求和
2
2
2
2
2
2
n
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项． 1．特别是对于?法，即利用
c?
?，其中{an}是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消?anan＋1?
?
cc11＝－(其中d＝an＋1－an)． anan＋1danan＋1
2．常见的拆项． 1nn＋1
1
11＝－；nn＋1
1
2n－11n＋1
2n＋1－
1?1?1－＝??；
2?2n－12n＋1?1
nn＋1n＋2
1?＝?2?nn＋1
＝
?； n＋2??
！.
n·n！＝(n＋1)！－n！；
六、公式法求和
nnn＋1！11－n！n＋1
?k＝
k＝1
nn＋1
2
；? (2k－1)＝n；?k＝
2
2
nnnn＋1
6
2n＋1
；
k＝1k＝1
?nn＋1?2. 3
k＝???
nk＝1
?
2
?
七、倒序相加法求和
如果一个数列{an}多与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和就是用此法推导的．
八、其他方法求和
如归纳猜想法、奇偶分拆法等． 基础自测
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝( ) A．63 B．45 C．36 D．27
解析：由等差数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴9,36－9，S9－36成等差数列，即54＝9＋S9－36.∴S9＝81.∴a7＋a8＋a9＝81－36＝45.故选B.
答案：B
2．(2013·三亚质检)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)(2n－1)，则a1＋a2＋
na3＋…＋a100＝( )
A．－200 B．－100 C．200 D．100
解析：由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100 ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)×(2×100－1)
＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.故选D. 答案：D
3．等差数列{an}中，a3＝8，a7＝20，若数列?为________．
解析：∵公差d＝∴
1＝
?
?的前?anan＋1?
100
1?
n项和为，则n的值
425
a7－a3
7－31
＝3，∴通项公式为an＝a3＋(n－3)×3＝3n－1(n∈N)．
111
＝－. 33n－13n＋2
1?1?14－＝，解得n??3?23n＋2?25
*
anan＋13n－13n＋2
1?1?1
用裂项求和法求得其前n项和为Sn＝?－?.令
3?23n＋2?＝16.
答案：16
4．在10到2 000之间，形如2(n∈N)的各数之和为__________． 解析：满足条件的数中，最小的是2，最大的是2， 所以S＝2＋2＋…＋2＝答案：2 032
4
5
10
4
10
n*
2
4
1－21－2
7
＝(2－1)×2＝2 032.
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1．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列?
?
1?
?anan＋1?
?的前100项和为( )
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第五节数列的求和 理
