第3章习题答案
3-1
解： 已知振幅A=12cm。频率ω=2 =2/T=
(1)根据运动方程x Acos(t+0) ① 由t=0时x=6.0cm, 有6=12cos(0)
π5π 或 ?0? 335π且t=0时 > 0 sin0 < 0 ∴?0?
3cos(
0
)=1/2 ?0?(2) 将t 和
0
代入①式有
5π13π)?12cos()?12?0.866?10.4 365π13πv??12?sin(0.5π?)??12?πsin()?12?π?0.5??18.8 cm/s
365π13πa??12π2cos(0.5π?)??12?π2cos()?12?π2?0.866??102.56 cm/s
36x?12cos(0.5π?
3-2
解：取角度逆时针为正 已知：摆长l=1.0m，小球质量m=10.0g 单摆运动为简谐运动，方程通解为：x=Acos(t+0) (1) 单摆频率为：??g l由动量定理 F?t?mv
根据速度表达式v??A?sin(?t??) 考虑速度最大时两式绝对值相等
F?t?A? mF?t10?10?5A???m10?10?31?3.19?10?3（rad） 10当t=0时 x=0 v > 0
即 cos(0)=0 sin(0)>0 ∴ 0 =3π/2 x=×103cos+3π/2) rad
(2) 相位不同，其它结果相同。 当t = 0时 x = 0 v < 0
即 cos(0) = 0 sin(0) < 0 ∴ 0 =π/2 x=×103cos+π/2) rad
质量为m、长圆管半径为r的比重计，浮在密度为的液体中，如果沿竖直方向推动比重计一下，则比重计将上下振动，在不考虑阻力作用的情况下，证明该振动为简谐运动，并求
其振动周期。
解：建立坐标系，x轴沿铅直方向切向下为正方向。设重力与浮力平衡位置为坐标零点。 设被比重计被推动时位移大小为x，则比重计所受到的作用力（浮力-重力）大小为
F?V?gx
由牛顿第二定律F?ma 2考虑位移与受力方向相反，有 mdxdt2??V?g?S?gx?πr2?gx
整理有 d2xπr2?gdt2?mx?0 令?2?πr2?gm 则方程改写为 d2x2dt2??x?0
该式为振谐运动方程，为振动圆频率。 ∴T?2πm??2πr?g
解：由振动加速度表达式a??A?2cos(?t??) 取最大值有A?a?2
代入相关数值有 A?1.0(2π?1.5)2?1.13?10?2m
解：波动表达式为 y?0.05cos(100πt?2πx)?0.05cos2π(50t?x) 将该式与波动表达式y?Acos2π(vt?x?)比较，有
(1) A =0.05m, v=50Hz, λ=1.0m.
将y?0.05cos(100πt?2πx) 改写为y?0.05cos100π(t?x50) 可知 v =50m/s, (2) 空间
任一点的简谐运动
速
度
v??A?sin(?t??)?0.05?100πsin(?t??)
∴vmax=5πm/s, 同样 a2
2
max= 500πm/s.
(3) 一列波在空间任意两点相位差仅仅由其波程差决定 ∴???2πx2?x1.7?0.2??2π01?π SI 表
达
式
为
图a 图b
当波动传播到界面时，波前到达如图a所示的A B线。如果n2>n1，波速v2小于v1，新的波前为AB,画出新的波线可以看出传播方向由L改变为L。 如果n2 3-17 解：（1）反射端为自由端时，反射波无半波损失，反射波为 ’′ ’ y2?Asin(?t?2?x?) 入射波和反射波合成的驻波方程为 波腹所在位置： xy?y1?y2?2Acos2?sin?t ?2Acos2?波节所在位置： 2Acos2?x??2A 2?x??k?，∴x?k?2 k = 0，1，2，… x??0 2????(2k?1)，∴x?(2k?1) k = 0，1，2，… ?24x（2）反射端为固定端时，反射波有半波损失，反射波为 y2?Asin(?t???2?x?), 入射波和反射波合成的驻波方程为 y?y1?y2?2Acos(2π???)sin(?t?) ?22x波腹所在位置： 2Acos(2??x??)?2A ，即 2???k?， ?2?2x∴x?(2k?1) 波节所在位置： 2Acos(2??4 k = 1，2，… ?x???)?0，即2???(2k?1)， ?2?22x∴x?k ?2 k = 0，1，2，… 23-18 解：由加速度表达式a??A?cos(?t??) 2?5232取极大值，有 a?A??0.10?10?(2π?50000)?9.87?10 m/s 由速度表达式 v??A?sin(?t??) 取极大值，有 v?A??0.10?10?5?2π?50000?3.14?10?1 m/s 3-19解：由题意可知潜水艇即为接收体也为反射波的发射体，故反射频率可由双向多谱勒频率得到，即接收频率为 v??u?v0v u?vs根据拍频定义，拍为发射和接收频率之差。所以有 ?v?v??v?u?v02vsv?v?v u?vsu?vs注意此时v0?vs 即潜水艇既为接收体也为发射源。 整理上式有：vs? u??v1500?241??6m/s 2v??v2?30000?241
喀蔚波章习题解答
