高等数学公式总结大全

微分

多元函数微分法及应用

全微分：dz=?z?z?u?u?udx+dy　　　du=dx+dy+dz?x?y?x?y?z全微分的近似计算：?z?dz=fx(x,y)?x+fy(x,y)?y多元复合函数的求导法：dz?z?u?z?vz=f[u(t),v(t)]　　　=?+?　dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz=f[u(x,y),v(x,y)]　　　=　?+??x?u?x?v?x当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=?u?u?v?vdx+dy　　　dv=dx+dy　?x?y?x?y隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y??隐函数F(x,y)=0，　　=?，　　2=(?x)＋(?x)?dxFy?xFy?yFydxdxFyF?z?z隐函数F(x,y,z)=0，　=?x，　　=??xFz?yFz?F?F(x,y,u,v)=0?(F,G)?u隐函数方程组：　　　J==??GG(x,y,u,v)=0?(u,v)??u?u1?(F,G)?v1?(F,G)=??　　　　=???xJ?(x,v)?xJ?(u,x)?u1?(F,G)?v1?(F,G)=??　　　　=???yJ?(y,v)?yJ?(u,y)?F?v=Fu?GGu?v

FvGv

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微分法在几何上的应用

?x=?(t)x?xy?y0z?z0?空间曲线?y=?(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0==???(t)?(t)??(t0)00?z=?(t)?在点M处的法平面方程：??(t0)(x?x0)+??(t0)(y?y0)+??(t0)(z?z0)=0??FyFzFzFxFx?F(x,y,z)=0若空间曲线方程为：,则切向量T={,,?GGGxGx?yzGz?G(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：?1、过此点的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x?x0y?y0z?z03、过此点的法线方程：==Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)FyGy}

2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)+Fy(x0,y0,z0)(y?y0)+Fz(x0,y0,z0)(z?z0)=0方向导数与梯度

?f?f?f函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：=cos?+sin??l?x?y其中?为x轴到方向l的转角。?f??f?函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=i+j?x?y

???f??它与方向导数的关系是：=gradf(x,y)?e，其中e=cos??i+sin??j，为l方向上的?l单位向量。?f?是gradf(x,y)在l上的投影。?l多元函数的极值及其求法

设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,　fxy(x0,y0)=B,　fyy(x0,y0)=C??A?0,(x0,y0)为极大值2AC?B?0时，???A?0,(x0,y0)为极小值??2则：?AC?B?0时，　　　　　　无极值?AC?B2=0时,　　　　　　　不确定???

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积分

重积分及其应用

??f(x,y)dxdy=??f(rcos?,rsin?)rdrd?DD?曲面z=f(x,y)的面积A=??D??z???z?1+??+???y??dxdy?x????22平面薄片的重心：x=Mx=M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?DD,　　y=MyM=??y?(x,y)d?D???(x,y)d?DD

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=??y2?(x,y)d?,　　对于y轴Iy=??x2?(x,y)d?平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F={Fx,Fy,Fz}，其中：Fx=f??D?(x,y)xd?(x+y+a)2222，　　Fy=f??3D?(x,y)yd?(x+y+a)2222，　　Fz=?fa??3D?(x,y)xd?(x+y+a)22322柱面坐标和球面坐标

?x=rcos??柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz=???F(r,?,z)rdrd?dz,?y=rsin?,　　　??????z=z?其中：F(r,?,z)=f(rcos?,rsin?,z)?x=rsin?cos??2球面坐标：?y=rsin?sin?，　　dv=rd??rsin??d??dr=rsin?drd?d??z=rcos??2?

?r(?,?)???f(x,y,z)dxdydz=???F(r,?,?)r??2sin?drd?d?=?d??d?00?F(r,?,?)r02sin?dr重心：x=1M???x?dv,　　y=??1M????y?dv,　　z=1M???z?dv，　　其中M=x=????dv???转动惯量：Ix=???(y2+z2)?dv，　　Iy=???(x2+z2)?dv，　　Iz=???(x2+y2)?dv? 第 13 页 共 22

曲线积分

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x=?(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(??t??),则：?y=?(t)?

?L?x=tf(x,y)ds=?f[?(t),?(t)]??2(t)+??2(t)dt　　(???)　　特殊情况：??y=?(t)?

?第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：?x=?(t)设L的参数方程为?，则：?y=?(t)??P(x,y)dx+Q(x,y)dy=??{P[?(t),?(t)]??(t)+Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL两类曲线积分之间的关系：?Pdx+Qdy=?(Pcos?+Qcos?)ds，其中?和?分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：??(D?Q?P?Q?P?)dxdy=?Pdx+Qdy格林公式：(?)dxdy=?Pdx+Qdy???x?y?x?yLDL?Q?P1当P=?y,Q=x，即：?=2时，得到D的面积：A=??dxdy=?xdy?ydx?x?y2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：?Q?P在＝时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：?x?y(x,y)?Q?P＝。注意奇点，如(0,0)，应?x?y

u(x,y)=(x0,y0)?P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常设x0=y0=0。 第 14 页 共 22

曲面积分

22对面积的曲面积分：??f(x,y,z)ds=??f[x,y,z(x,y)]1+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy?Dxy对坐标的曲面积分：??P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：???R(x,y,z)dxdy=???R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；?Dxy??P(x,y,z)dydz=???P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；?Dyz

??Q(x,y,z)dzdx=???Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。?Dzx两类曲面积分之间的关系：??Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=??(Pcos?+Qcos?+Rcos?)ds??高斯公式

???(??P?Q?R++)dv=??Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=??(Pcos?+Qcos?+Rcos?)ds?x?y?z??高斯公式的物理意义——通量与散度：??P?Q?R?散度：div?=++,即：单位体积内所产生的流体质量，若div??0,则为消失...?x?y?z??通量：??A?nds=??Ands=??(Pcos?+Qcos?+Rcos?)ds，?因此，高斯公式又可写成：???divAdv=??Ands?????

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