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第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝x－5＋26－x的最大值是( ) A.3 C．3
B.5 D．5
解析：根据柯西不等式，知y＝1·x－5＋2·6－x≤12＋22·
（
x－5）2＋（6－x）2＝5. 答案：B
2．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为( ) A．4 C．8
B．213 D．9
解析：(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，3a＝2b时取等号， 所以(3a＋2b)2≤4×13.当3a＋2b取最大值时为正值 所以3a＋2b≤213. 答案：B
3．已知a，b＞0，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值
高中数学
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是( )
A．26 C．6 解析：(
4a＋1＋
B.6 D．12
4b＋1)2＝(1·4a＋1＋1·4b＋1)2≤(12＋
12)·(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，
当且仅当4a＋1＝4b＋1，即a＝b时等号成立． 答案：D
4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是( )
A．1 C．3
B.3 D．9
解析：由柯西不等式得[(a)2＋(b)2＋(c)2](12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2，所以(a＋b＋c)2≤3×1＝3. 1
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
3所以a＋b＋c的最大值为3.故选B. 答案：B
22222
5．已知a1＋a2＋…＋a2n＝1，x1＋x2＋…＋xn＝1，则a1x1＋a2x2
＋…＋anxn的最大值为( )
A．1 C．－1
B．2 D．不确定
2222解析：因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a21＋a2＋…＋an)(x1＋x2＋…2
＋xn)＝1×1＝1，
高中数学
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当且仅当ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时等号成立． 所以a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1. 答案：A 二、填空题
6．(2015·重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．
解析：因为a，b＞0，a＋b＝5，所以(a＋1)＋(b＋3)＝9. 令x＝a＋1，y＝b＋3，则x＋y＝9(x＞1，y＞3)， 于是
a＋1＋
b＋3＝x＋y，而(x＋y)2＝x＋y＋2xy≤x
＋y＋(x＋y)＝18，
所以x＋y≤32.
此时x＝y，即a＋1＝b＋3，结合a＋b＝5可得a＝3.5，b＝1.5， 故当a＝3.5，b＝1.5时，答案：32
7．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．
1
解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)×(x2＋y2＋
3111z2)≥(1·x＋1·y＋1·z)2＝(x＋y＋z)2＝，当且仅当x＝y＝z时等号成
333立．
1答案：
3
高中数学
a＋1＋b＋3的最大值为32.
人教版数学高二-人教A版选修4-5练习 3.2一般形式的柯西不等式
