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考点15 三角函数的诱导公式、同角的基本关系
式、简单的三角恒等变换
一、选择题
1.(2017·全国丙卷·文科·T6)函数f(x)= A.错误!未找到引用源。
B.1 C.
????1??sin?x??+cos?x??的最大值为 ( )
3?6?5??31 D. 55【命题意图】本题考查三角函数的性质和诱导公式,考查学生的观察分析和运算的能力.
???【解析】选A.由诱导公式可得:cos?x??
6????????=cos???x???
3???2????=sin?x??,
3????????则f?x?=错误!未找到引用源。sin?x??+sin?x??
3?3?????????=错误!未找到引用源。sin?x??,因为-1≤sin?x??≤1,故
3?3???函数f(x)的最大值为错误!未找到引用源。 2.(2017·山东高考文科·T4)已知cosx=A.-
1111 B. C.- D.
88443,则cos 2x= ( ) 4【命题意图】本题考查二倍角公式的应用和三角恒等变换,意在考查考生的化归与转化能力,运算求解能力.
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1?3?【解析】选D.cos2x=2cos2x-1=2×??-1=.
8?4?3.(2017·山东高考文科·T7)函数y=3sin2x+cos2x的最小正周期为 ( ) A.
2?? B. C.π
322D.2π
【命题意图】本题考查三角恒等变换和三角函数周期的求解,意在考查考生对数学式子的变形应用能力.
??2??【解析】选C.由题意y=2sin?2x??,其周期T==π.
62??二、填空题
4.(2017·全国甲卷文·T13)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为 .
【命题意图】三角函数的图象和性质、简单的三角恒等变换,意在考查学生的转化和化归思想以及运算能力.
【解析】根据辅助角公式,可以得到f(x)=2cosx+sinx=
5sin(x+φ),由于sin(x+φ)的最大值为1,故f(x)的最大值为5.
答案: 5 5.(2017·全国甲卷理科·T14)函数f(x)=sin2x+3cosx-错误!未找到引用源。的最大值是 .
【命题意图】三角函数的性质,同角三角函数的基本关系、二次函数的性质.意在考查学生的三角转换能力和运算能力. 【解析】f(x)=1-cos2x+
1?cosx+=-?cosx?43cosx-
3=-cos2x+错误!未找到引用源。4?3??2?23???
+1,因为x∈?0,?,所以cosx∈[0,1],所以当cosx=时,函数
2?2?
取得最大值1. 答案:1
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6.(2017·北京高考文科·T9)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的
1终边关于y轴对称.若sinα=,则sinβ= .
3【命题意图】本题主要考查三角恒等变换.意在培养学生计算能力. 【解析】因为角α与角β的终边关于y轴对称, 所以β=2kπ+π-α,k∈Z,
1所以sinβ=sin?2k??????=sin?????错误!未找到引用源。=sinα=.
31答案:
3【误区警示】在表达角α与角β的关系时,易错误地写成β=π-α.检索号:16
7.(2017·北京高考理科·T12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=错误!未找到引用源。,cos(α-β)= . 【命题意图】本题主要考查三角恒等变换.意在培养学生计算能力. 【解析】因为sinβ=sinα,cosβ=-cosα, 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=-错误!未找到引用源。. 答案:-错误!未找到引用源。
8.(2017·江苏高考·T5)若tan错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,则tanα= .
【命题意图】考查两角和正切公式的应用.
1?16【解析】tanα=tan错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。==错误!未找到引用11?6源。.故答案为错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。
三、解答题
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9.(2017·山东高考理科·T16)设函数f(x)=sin错误!未找到引用源。+sin错误!未找到引用源。,其中0<ω<3,已知f错误!未找到引用源。=0, (1)求ω.
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移错误!未找到引用源。个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在错误!未找到引用源。上的最小值.
【命题意图】本题考查三角函数图象的变换及三角函数的性质,意在考查考生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.
【解析】(1)因为f(x)=sin错误!未找到引用源。+sin错误!未找到引用源。, 所以f(x)=错误!未找到引用源。sinωx-错误!未找到引用源。cosωx-cosωx =错误!未找到引用源。sinωx-错误!未找到引用源。cosωx =错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。sin错误!未找到引用源。. 由题设知f错误!未找到引用源。=0, 所以
??6??3=kπ,k∈Z.
故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3, 所以ω=2.
(2)由(1)得f(x)=错误!未找到引用源。sin错误!未找到引用源。,所以
f(x)=错误!未找到引用源。sin错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。sin错误!未找到引用源。,
因为x∈错误!未找到引用源。,所以x-错误!未找到引用源。∈错误!未找到引用源。, 当x-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,即x=-错误!未找到引用源。时,g(x)取得最小值-错误!未找到引用源。.
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10.(2017·浙江高考·T18)已知函数f错误!未找到引用源。=sin2x-cos2x-2错误!未找到引用源。sinxcosx错误!未找到引用源。. (1)求f错误!未找到引用源。的值.
(2)求f错误!未找到引用源。的最小正周期及单调递增区间.
【命题意图】本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.
【解析】(1)因为sin错误!未找到引用源。=
32?,cos=-错误!未找到引用源。, 23所以f错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。-2错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。 即f错误!未找到引用源。=2,
(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得
f错误!未找到引用源。=-cos2x-错误!未找到引用源。sin2x=-2sin错误!未找到引用源。, 所以f错误!未找到引用源。的最小正周期是π,
由正弦函数的性质得错误!未找到引用源。+2kπ≤2x+错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。+2kπ,k∈Z,
解得错误!未找到引用源。+kπ≤x≤错误!未找到引用源。+kπ,k∈Z, 所以f错误!未找到引用源。的单调递增区间是错误!未找到引用源。,k∈Z.
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