高中数学选修2-3离散型随机变量的分布列精选题目（附答案）
(1)离散型随机变量的分布列的定义及性质
①一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格形式表示为：
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 称上表为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．用等式可表示为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，离散型随机变量分布列还可以用图象表示．
(2)特殊分布 ①两点分布
X P 0 1－p 1 p 像上面这样的分布列叫做两点分布．如果随机变量X的分布列为两点分布，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
②超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，
n－kCkMCN－M则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，即
CnN
X P 0 n－0C0MCN－M CnN1 n－1C1MCN－M CnN… … m n－mCmMCN－M CnN其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
一、离散型随机变量的分布列
1．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．
(1)求X的分布列；
(2)求X的取值不小于4的概率．
解： (1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6，
3C31
P(X＝3)＝C3＝20，
612C1C33
P(X＝4)＝C3＝20，
612C1C43
P(X＝5)＝C3＝10，
612C1C51
P(X＝6)＝C3＝2，
6
所以随机变量X的分布列为
X P 3 120 4 320 5 310 6 12 (2)X的取值不小于4的概率为 33119
P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝20＋10＋2＝20. 注：
求离散型随机变量分布列的一般步骤：
(1)确定X的所有可能取值xi(i＝1,2，…)以及每个取值所表示的意义； (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…)； (3)写出分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验．
2．一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X表示取出3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列．
解：随机变量X的可能取值为1,2,3.
当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为
2
C463
2,3,4,5的4个球中取，故有P(X＝1)＝C3＝10＝5；
5
当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为
2C33
3,4,5的3个球中取，故有P(X＝2)＝C3＝10；
5
当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为
2C21
4,5的2个球，故有P(X＝3)＝C3＝10.因此，X的分布列为
5
X P 3．若随机变量X的分布列为 X P －2 0.1 1 35 2 310 3 110 －1 0.2 0 0.2 1 0.3 2 0.1 3 0.1 则当P(X 解析：选C 随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X 4．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为( ) X＝i P(X＝i) 1111A.24 B.16 C.8 D.4 ?a＋b?21122 解析：选C 由分布列性质可知a＋b＝2，而a＋b≥2＝8.故选C. 5．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a(11－2k)，k＝1,2,3,4,5，其中a为23??5 常数，则P?2<ξ<5?＝( ) ?? 31348A.5 B.25 C.5 D.25 23?1?5 解析：选D 由a(9＋7＋5＋3＋1)＝1可得a＝25，所以P?2<ξ<5?＝P(ξ＝ ??538 3)＋P(ξ＝4)＝25＋25＝25，故选D. 1 6．已知随机变量X所有可能取值的集合为{－2,0,3,5}，且P(X＝－2)＝4，11 P(X＝3)＝2，P(X＝5)＝12，则P(X＝0)的值为( ) 0 14 1 a 2 14 3 b 111 A．0 B.4 C.6 D.8 解析：选C 由分布列的性质可知， 1 P(X＝0)＝1－P(X＝－2)－P(X＝3)－P(X＝5)＝6. 7．已知随机变量ξ的分布列为 ξ P －2 112 －1 14 0 13 1 112 2 16 3 112 设η＝ξ2－2ξ，则P(η＝3)＝________. 111 解析：由题意，可知P(η＝3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝3)＝4＋12＝3. 1 答案：3 二、离散型随机变量分布列的性质 k?? 1．设随机变量X的分布列为P?X＝5?＝ak(k＝1,2,3,4,5)． ??(1)求常数a的值； 3?? (2)求P?X≥5?； ??7??1 (3)求P?10＜X＜10?. ?? 解： 题目所给随机变量X的分布列为 X P 15 a 25 2a 35 3a 45 4a 1 5a (1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 1 得a＝15. 3?3?4???? (2)法一：P?X≥5?＝P?X＝5?＋P?X＝5?＋P(X＝1) ??????1414 ＝5＋15＋3＝5. 3?2?2?4???1 法二：P?X≥5?＝1－P?X≤5?＝1－?15＋15?＝5. ?????? 7?17?1 (3)因为10＜X＜10，所以P?10＜X＜10? ??1?2?3?1212??? ＝P?X＝5?＋P?X＝5?＋P?X＝5?＝15＋15＋5＝5. ??????注： (1)利用离散型随机变量的分布列的两个性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确． (2)一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为： X P (1)求q的值； (2)求P(X＜0)，P(X≤0)的值． 解：(1)由分布列的性质得 1－2q≥0，??q2≥0，?12?＋?1－2q?＋q＝1，?2 －1 1 20 1－2q 1 q2 2 解得q＝1－2. 1 (2)P(X＜0)＝P(X＝－1)＝2； 11?2? P(X≤0)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝2＋1－2?1－?＝2－2. 2?? 三、两点分布及超几何分布 1．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
高中数学选修2-3离散型随机变量的分布列精选题目(附答案)
