习题二
1. 求映射
w?z?1z下圆周|z|?2的像. w?u?iv则
1x?iyxy?x?iy?2?x?2?i(y?2)22x?iyx?yx?yx?y2
解：设z?x?iy,
u?iv?x?iy? 因为x?y?4,所以
53u?xv??y4,4 所以
uvx?5,y?34422u?iv?53x?yi44
?2u2u所以?524??v??324即?522??v2??322?1，表示椭圆.
i?22. 在映射w?z下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设w??e或
222w?u?iv. 解：设w?u?iv?(x?iy)?x?y?2xyi 22所以u?x?y,v?2xy.
(1) 记w??e，则
π0???4,??.2
i?0?r?2,??π4映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即
ππ0???,0?r?20???4,0???.i?42 (2) 记w??e，则映成了w平面上扇形域，即
22222u?a?y,v?2ay.v?4a(a?u).是以原点为焦w?u?iv(3) 记，则将直线x=a映成了即
22点，张口向左的抛物线将y=b映成了u?x?b,v?2xb.
222 即v?4b(b?u)是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.
3. 求下列极限.
1z?t,则z??,t?0. 解：令
1t2lim?lim?0z??1?z2t?01?t2于是.
Re(z)(2) z?0z;
limRe(z)x?x?iy有 解：设z=x+yi，则zlimRe(z)x1?lim?z?0x?0zx?ikx1?iky?kx?0
显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在.
limz?iz(1?z2)；
（3）
z?ilim解：
z?iz?i11z?ilim?lim??2. z(1?z2)=z?iz(i?z)(z?i)z?iz(i?z)（4）
limz?1zz?2z?z?2z2?1.
zz?2z?z?2(z?2)(z?1)z?2??,2z?1(z?1)(z?1)z?1 解：因为
limz?1所以
zz?2z?z?2z?23?lim?z?1z?1z2?12.
4. 讨论下列函数的连续性：
limf(z)?xy(x,y)?(0,0)x2?y2, lim解：因为
z?0xyk?(x,y)?(0,0)x2?y21?k2, 若令y=kx,则
lim因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.
从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续. (2)
?x3y,?f(z)??x4?y2?0,?z?0,z?0.
解：因为
x3yxx3y0?4??x?y22x2y2,
x3ylim?0?f(0)(x,y)?(0,0)x4?y2所以
所以f(z)在整个z平面连续.
5. 下列函数在何处求导？并求其导数.
n?1(1) f(z)?(z?1) (n为正整数)；
解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.
f?(z)?n(z?1)n?1.
f(z)?z?2(z?1)(z2?1).
(2)
2(z?1)(z?1)?0处不可导. 解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在
从而f(z)除z??1,z??i外可导.
(z?2)?(z?1)(z2?1)?(z?1)[(z?1)(z2?1)]?f?(z)?(z?1)2(z2?1)2?2z3?5z2?4z?3?(z?1)2(z2?1)2
(3)
f(z)?3z?85z?7. z=解：f(z)除
f(z)?3(5z?7)?(3z?8)5617f?(z)???(5z?7)2(5z?7)2. 5外处处可导，且
(4) 解：因为
f(z)?x?yx?y?i222x?yx?y2.
x?y?i(x?y)x?iy?i(x?iy)(x?iy)(1?i)z(1?i)1?i????2x2?y2x2?y2x2?y2zz.所以f(z)除z=0外处处可导，且
f?(z)??(1?i)z2.
6. 试判断下列函数的可导性与解析性.
22(1) f(z)?xy?ixy;
22u(x,y)?xy,v(x,y)?xy在全平面上可微. 解：
?y?y2,?x?u?2xy,?y?v?2xy,?x?v?x2?y
所以要使得
?u?v?u?v????x?y， ?y?x,
只有当z=0时,
从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
22f(z)?x?iy(2) .
22u(x,y)?x,v(x,y)?y解：在全平面上可微.
?u?2x,?x?u?0,?y?v?0,?x?v?2y?y
?u?v?u?v????y. 只有当z=0时,即(0,0)处有?x?y,?y所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
33f(z)?2x?3iy(3) ;
33u(x,y)?2x,v(x,y)?3y解：在全平面上可微.
?u?6x2,?x?u?0,?y?v?9y2,?x?v?0?y
所以只有当2x??3y时，才满足C-R方程. 从而f(z)在2x?3y?0处可导，在全平面不解析.
2(4) f(z)?z?z.
解：设z?x?iy，则
f(z)?(x?iy)?(x?iy)2?x3?xy2?i(y3?x2y) u(x,y)?x3?xy2,v(x,y)?y3?x2y
?u?3x2?y2,?x?u?2xy,?y?v?2xy,?x?v?3y2?x2?y
所以只有当z=0时才满足C-R方程.
从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.
7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数. ?(1) f(z)?0;
?u?u?v?v??0??0?(z)?0f?x?y?x?y证明：因为，所以,.
所以u,v为常数，于是f(z)为常数. (2) f(z)解析.
证明：设f(z)?u?iv在D内解析,则 ?u?(?v)?u?v?????x?y?x?y ?u??(?v)?v????y?x?y ?u?v??,?x?y?u?v??y?x
?u?v???y?x
?u?u?,?x?y而f(z)为解析函数，所以
?v?v??,?x所以?x?v?v?u?u?v?v??,????0?y?y即?x?y?x?y
从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数.
(3) Ref(z)=常数.
?u?u??0?x?y证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1,
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的第二章习题答案
