2011年数学奥林匹克希望联盟讲座
镇海中学沈虎跃
一、2011IMO试题选讲
二、多项式问题选讲
【问题1】设整系数n?1次多项式f(x)在区间(0,1)上有n个不全相等的实根.若f(x)的首项系数是a，求证：a?2n?1.
证明设x1,x2,,xn是所给多项式的根，我们有
因为所有的根均在(0,1)上，可得f(0)?0,f(1)?0.并且，当x取整数值时，f(x)也
是整数，所以f(0),f(1)均为非零整数.从而 不等式0?xk?1(k?1,2,仅当x?,n)能够保证每个因子均为正.对任意x，都有x(1?x)?1，当且41时等号成立（这并不是对所有的xk都成立），我们得到 2这说明a?2n.考虑到a是一个整数，我们得到a?2n?1.
【问题2】设非负实系数多项式f(x)?xn?a1xn?1?（1）f(2)?3n;
（2）对所有x?0,有f(x)?(x?1)n; （3）对所有k?1,2,,n?1,有ak?Cnk.
?an?1x?1有n个实根.求证：
证明显然当x?0时，f(x)取正值，所以它的所有实根都是负数.为方便起见，设其为??1,??2,,??n,其中?1,?2,,?n为正.我们得到
根据多项式的根与系数的关系得
我们将看到，三个命题的证明都依赖于这个等式. （1）由AM-GM不等式，我们得到 对于k?1,2,,n均成立.因此
（2）这部分我们基本可以用相同的方法证明，这里要用到加权AM-GM不等式．对于所有的非负数x和所有的k?1,2,,n，我们有 如果x?0,那么
（3）这是AM-GM不等式的又一个结论.系数?k是?1,?2,,?n中所有可能的k项乘积之
?n??n?1?和.有??个这样的乘积，并且每个?k都包含在其中的??个乘积中.因此
?k??k?1?
【问题3】已知a,b,c?R，求证：a,b,c都是正数的充要条件是
a?b?c?0,ab?bc?ca?0,abc?0．
【证明】必要性显然成立．下面证明充分性． 由题设条件容易联想到韦达定理的逆定理，设
p?a?b?c?0,q?ab?bc?ca?0,r?abc?0，
则由韦达定理得逆定理知，a,b,c是多项式P?x??x3?px2?qx?r的三个根．又因为当
x?0时，P?x??x3?px2?qx?r?0，所以P?x?的根都是正的，即a,b,c都是正数． 【点评】（1）这里我们利用韦达定理的逆定理，构造以a,b,c为根的辅助多项式
P?x??x3?px2?qx?r，从而将问题转化为证明多项式P?x??x3?px2?qx?r的根全为正．这种构造的技巧在解多项式问题时经常用到．
（2）由本题的证明启发我们将此题推广为： 已知xi?R,i?1,2,证法与上例类似．
,n，则xi为正数的充要条件是
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