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向量基底的选择
1. 以共点向量为基底
例1. 在△ABC内求一点P，使PA?PB?PC的值最小。 解：如图1：
222
????????? 设CA?a，CB?b，CP?x，以a，b，x为一组基底，有：
?????? PA?a?x，PB?b?x
?2?2?2 故|PA|?|PB|?|PC|
?
??????22PA?PB?PC2??2??2(a?x)?(b?x)?x2
??????3x2?2(a?b)·x?a2?b2??1???1??23[x?(a?b)]?a2?b2?(a?b)233?1???2?2?2 所以，当x?(a?b)时，|PA|?|PB|?|PC|的值最小，此时，
3???PA?PB?PC?0，即P点为△ABC的重心，因此，当P为△ABC重心时，PA2?PB2?PC2的值最小。
2. 以任一点为起点，相关顶点为终点的向量作基底
例2. 在四边形ABCD中，P、Q分别为对角线AC、BD的中点，E、G、F、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点，求证：EF、GH、PQ的中点重合。
???????? 证明：以平面上任一点O为始点，设OA?a，OB?b，OC?c，OD?d，
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以a，b，c，d为基底，有：
??????1??1??OE?(a?d)，OF?(b?c)22??1??1?? OG?(a?b)，OH?(c?d)22??1??1??OP?(a?c)，OQ?(b?d)22 设EF、GH、PQ的中点分别为M1、M2、M3，则
?1?1????(OE?OF)?(a?b?c?d)24??1?1???? OM?(OG?OH)?(a?b?c?d)224??1?1????PQ?(OP?OQ)?(a?b?c?d)24OM1? 故M1、M2、M3重合，
即EF、GH、PQ的中点重合。
3. 以共点的单位向量为基底
例3. 如图3，在△ABC内任取一点O，△BOC、△AOC、△AOB的面积分别为
?????SA、SB、SC，证明：SA·OA?SB·OB?SC·OC?0。
???????????? 证明：设OA?|OA|e1，OB?|OB|e2，OC?|OC|e3，以单位向量e1、e2、e3为
基底，并设∠BOC＝α，∠AOC＝β，∠AOB＝γ，则有：
?1? SA?|OC|·|OB|sin?
2????1? 所以，SA·OA?|OA|·|OB|·|OC|e1sin?
2????1? 同理：SB·OB?|OA|·|OB|·|OC|e2sin?
22????1? SC·OC?|OA|·|OB||OC|e3sin?
??? 所以，SA·OA?SB·OB?SC·OC
??? ?1|OA|·|OB|·|OC|
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?????e2sin??e3sin?) (e1sin??? 在OA上取一点D，使OD?e1sin?，作DE∥OB交CO延长线于E，则
∠DEO＝180°－α
∠DOE＝180°－∠β，∠ODE＝180°－γ 在△DOE中，由正弦定理，得：
???|OD||EO||DE| ??sin?DEOsin?ODEsin?DOE??|e1sin?||OD| 又??1
sin?DEOsin?180?????? 所以|EO|?sin?，|DE|?sin?
???? 故EO?e3sin?，DE?e2sin?
???? 因为OD?DE?EO?0
???? 即e1sin??e2sin??e3sin??0
???? 从而SA·OA?SB·OB?SC·OC?0
练习
1. △ABC中，AB＝AC，D是AB中点，O是△ABC的外心，E是△ACD的重心。 求证：OE⊥CD
2. 已知四边形ABCD，求证：AC⊥BD当且仅当AB?CD?BC?DA。 3. 四边形ABCD的对角互补，AB、DC交于E，AD、BC交于F，EG平分∠AED交AD于G，FH平分∠AFB交AB于H，求证：EG⊥FH。 提示：
2222??? 1. 可选择OA、OB、OC作为基底。
???? 2. 在ABCD所在平面内任取点O，以OA、OB、OC、OD为基底。 ???? 3. 以EA、ED、FA、FB的单位向量为基底。
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