第72课时：第九章
课题：空间直线 一．复习目标：
1．了解空间两条直线的位置关系．
2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的
长． 二．课前预习： 1．下列四个命题：
（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线 （2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 （3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面
（4）若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也异面 其中真命题个数为 （ D ）
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
2．在正方体ABCD?A'B'C'D'中，M、N分别是棱AA'和AB的中点，P为上底面
ABCD的中心，则直线PB与MN所成的角为（ A ）
(A)300 (B)450 (C)600 (D)
3．在棱长为a的正四面体中，相对两条棱间的距离为__ _．（答案：
2a） 24．两条异面直线a、b间的距离是1cm，它们所成的角为600，a、b上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为_______． 答案：101cm或301cm
三．例题分析：
例1．已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A?a，B?a，C?b，D?c，求证：AD与BC是异面直线．
P
C B
a
D b c
证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，∴AD和BC是异面直线。
证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C?平面α，B∈平面α，AD?平面α，B?AD，∴AD和BC是异面直线。 例2． 一条长为2cm的线段AB夹在互相垂直的两个平面?、?之间，AB与?所成角为450，与?所成角为30，且????l，AC?l，BD?l，
0A
F E G α
D B β （2）AB与CD所成的角 C、D是垂足，求（1）CD的长；
解：（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=300， ∠BAD=450 ，Rt△ACB中，BC=AB·cos300=3 ， 在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=2
在Rt△BCD中，可求出CD=1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2AC·BD·cos900求得）（2）作BE//l，CE//BD，BE∩CE，则∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BE⊥AE，先求出AE=3，再在Rt△ABE中，求得∠ABE=600。
说明：在（3）中也可作CH⊥AB于H，DF⊥AB于F，HF即为异面直线CH、
DF的公垂线，利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2·CH·DFcosα，求出cosα=
四．课后作业：
3。 31．AB、CD在平面α内，AB//CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面α外，EF//AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面α相距15厘米，则EF与CD的距离为（ C ）
(A)25厘米 (B)39厘米 (C)25或39厘米 (D)15厘米
2．已知直线a，如果直线b同时满足条件：①a、b异面②a、b所成的角为定值③a、b
间的距离为定值，则这样的直线b有（ D ）
(A)1条 (B)2条 (C)4条 (D)无数条
3．已知异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（ B ）
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
4．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB?2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小 ． 答案：900．
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1的中，求证：B1D被平面A1BC1分成1∶2的两段．
D1 A1
O
C1 B1 D A
B
C
2021年高考数学第一轮专题复习-直线、平面、简单几何体——空间直线
