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大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案
：业专 ：级 年线 封 ：校院在 所密 ： 号证份身 ：名姓1
考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 满 分 10 10 15 20 5 10 15 15 100 得 分 注意： 1
.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.
得分 一、填空（每小题5分，共20分）.
评阅人 (1)计算1xlim?cosx?0?x(1?cosx)= .
(2)设f(x)在x?2连续，且limf(x)?3x?2x?2存在，则f(2)= . (3)若f(t)?lim?t(1?1x)2txx?，则f?(t)? .
(4)已知f(x)的一个原函数为ln2x，则?xf?(x)dx= . （1）
12. (2) 3 . (3)(2t?1)e2t . (4)2lnx?ln2x?C.
得分 二、（5分）计算
??y?x2dxdy，其中
D 评阅人 D：0?x?1，0?y?1.
解：
??y?x2dxdy=
?x2)dxdy -------- 2分
D??(x2?y)dxdy+
??(yD1:y?x2D2:y?x2=?1dx?x21100(x2?y)dy+?0dx?x2(y?x2)dy -------------4分
=
1130 -------------5分.
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得分 三、（10分）设y?sin[f(x)]，其中f具有二阶
2评阅人 解：
d2y导数，求2.
dxdy?2xf?(x2)cos[f(x2)],---------------3分 dxd2y222222222?????2f(x)cos[f(x)]?4xf(x)cos[f(x)]?4x[f(x)]sin[f(x)]-----7分 2dx=2f?(x)cos[f(x)]?4x{f??(x)cos[f(x)]?[f?(x)]sin[f(x)]}---------10分.
22222222得分 评阅人 四、（15分）已知 解：
?lna0ex?3?2exdx?1，求a的值. 3?lna01lnae?3?2edx???3?2exd(3?2ex)---------3分
20xx令3?2ex?t，所以
?lna0ex?3?2exdx??33?2a113?2atdt---------6分
2?112=??t223------------7分
1=??[(3?2a)3?1]，-----------9分
3lna111由?ex?3?2exdx?，故??[(3?2a)3?1]=，-----------12分
0333即(3?2a)3=0-----------13分 亦即3?2a?0-------------14分
3所以a? -------------15分.
2 2
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得分 评阅人 解：原方程可化为
五、（10分）求微分方程xy??y?ex?0 满 足条件yx?1?e 的特解.
专业： 1exy??y?-----------2分
xx这是一阶线性非齐次方程，代入公式得
11x??xdx?e?xdxy?edx?C?----------4分 ???ex???=e?lnx年级： ?exlnx??edx?C???----------5分 ?x?1xedx?C-----------6分 ?x1x=(e?C).---------------7分 x=
线 ??所以原方程的通解是y?再由条件yx?11x(e?C).----------8分 x所在院校： 封 ?e，有e?e?C，即C?0，-----------9分
ex因此，所求的特解是y?.----------10分.
x
密
得分 六（10分）、若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导
数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，其中
身份证号： 评阅人 a?x1?x2?x3?b，证明：在(x1,x3)内至少有一点?，使f?(?)?0。
证：由于f(x)在(a,b)内具有二阶导数，所以f(x)在[x1,x2]上连续， 在(x1,x2)内可导，再根据题意f(x1)?f(x2)，
由罗尔定理知至少存在一点?1?(x1,x2)，使f?(?1)=0；--------3分
姓名： 同理，在[x2,x3]上对函数f(x)使用罗尔定理得至少存在一点?2?(x2,x3)，使f?(?2)=0；---------6分
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大学生数学竞赛(非数)试题及答案
