第一课
考点突破·素养提升
素养一 数学抽象 角度 集合的基本概念
2
【典例1】已知集合={a,a+3b,0},则2|a|+b=________.
【解析】因为集合={a,a+3b,0},所以b=0,a=4,解得a=±2,
22
当a=-2,b=0时,{-2,0,4}={4,-2,0},成立, 此时2|a|+b=4.
当a=2,b=0时,{2,0,4}={4,2,0},成立, 此时2|a|+b=4. 答案:4
【典例2】已知A={a+2,(a+1),a+3a+3},若1∈A,求实数a的值.
【解析】由题设条件可知:1∈A,若a+2=1,即a=-1时,(a+1)=0,a+3a+3=1=a+2, 不满足集合中元素的互异性,舍去; 若(a+1)=1,即a=0或a=-2,
当a=0时,a+2=2,(a+1)=1,a+3a+3=3, 满足条件;
当a=-2时,a+2=0,(a+1)=1,a+3a+3=1, 不满足集合中元素的互异性,舍去;
若a+3a+3=1,即a=-1或a=-2,均不满足条件, 理由同上.综上可知,实数a的值只能是a=0. 【素养·探】
将本例条件改为“集合A={2,4,x-5x+9},B={3,x+ax+a},2∈B,B?A”,求实数a,x的值. 【解析】因为a,x∈R,集合A={2,4,x-5x+9}, B={3,x+ax+a},2∈B,B?A,所以
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
解得x=2,a=-或x=3,a=-,
经检验x=2,a=-或x=3,a=-都符合题意,
故所求a,x的值分别为-,2或-,3. 【类题·通】
1.集合元素的互异性在解题中的两个应用
(1)切入:利用集合元素的互异性寻找解题的切入点. (2)检验:解题完毕,利用互异性验证答案的正确性. 2.描述法表示集合的关键及注意点
(1)关键:清楚集合的类型及元素的特征性质.
(2)注意点:当特征性质的表示形式相同时,要清楚代表元素的不同会导致集合含义的不同,所以研究描述法时要关注集合中代表元素的属性. 【加练·固】
设集合A={x|x-3x+a=0},若4∈A,则集合A用列举法表示为________. 【解析】因为4∈A,所以16-12+a=0,所以a=-4,所以A={x|x-3x-4=0}={-1,4}. 答案:{-1,4} 素养二 数学运算 角度 集合的基本运算
【典例3】(2018·北京高考)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=
( )
A.{0,1}
B.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}
2
2
C.{-2,0,1,2}
【解析】选A.集合A={x|-2 (2)记集合A=(IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤a+5},a∈R,若A∩B=A,求实数a的取值范围. 【解析】(1)因为M={-3},则IM={x|x≠-3},又因为N={2,-3},从而有(IM)∩N={2}. (2)因为A∩B=A,所以A?B,又因为A={2},所以a-1≤2≤a+5,解得-3≤a≤3,即实数a的取值 2 范围是-3≤a≤3. 【类题·通】 1.集合基本运算的方法 (1)定义法或Venn图法:集合是用列举法给出的,运算时可直接借助定义求解,或把元素在Venn图中表示出来,借助Venn图观察求解. (2)数轴法:集合是用不等式(组)给出的,运算时可先将不等式在数轴中表示出来,然后借助数轴求解. 2.集合与不等式结合的运算包含的类型及解决办法 (1)不含字母参数:直接将集合中的不等式解出,在数轴上求解. (2)含有字母参数:若字母的取值影响到不等式的解,要先对字母分类讨论,再求解不等式,然后在数轴上求解. 【加练·固】 1.设集合U={x|x是小于20的质数},A,B?U,(?UA)∩B={3,5},(?UB)∩A= {11,13},(?UA)∩(? U B)={7,17},则集合A,B分别为 ( ) A.A={1,2,11,13,19},B={1,2,3,5,19} B.A={2,11,13,19},B={2,3,5,19} C.A={3,11,13,19},B={2,3,5,19} D.A={2,11,13,17,19},B={2,3,5,7,19} 【解析】选B.由题意画出Venn图如下, 所以A∩B={2,19}, 所以A={2,11,13,19}.B={2,3,5,19}. 2.若集合A={x|-3≤x≤4}和B={x|2m-1≤x≤m+1}. (1)当m=-3时,求集合(?RA)∩B. (2)当A∩B=B时,求实数m的取值范围. 【解析】(1)当m=-3时,集合?RA={x|x<-3或x>4},B={x|-7≤x≤-2}. 所以(?RA)∩B={x|-7≤x<-3}.
2019-2020学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教A版必修第一册
