姜启源《数学模型》第三版课件

模型求解

给出一种简单、粗糙的证明方法

将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(?/2)=0 , g(?/2)>0.令h(?)= f(?)–g(?), 则h(0)>0和h(?/2)<0.

由f, g的连续性知h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在?0 , 使h(?0)=0, 即f(?0) = g(?0) .因为f(?) ? g(?)=0, 所以f(?0) = g(?0) = 0.

评注和思考建模的关键~?和f(?), g(?)的确定

假设条件的本质与非本质

考察四脚呈长方形的椅子

1.3.2 商人们怎样安全过河问题(智力游戏)随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.

河小船(至多2人)???3名商人???3名随从

但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?

问题分析

多步决策过程

决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.

模型构成

xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数sk=(xk , yk)~过程的状态

xk, yk=0,1,2,3;k=1,2,??S ~ 允许状态集合

S={(x, y)?x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}

uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk , vk)~决策sk+1=sk+(-1)kdk

uk, vk=0,1,2;k=1,2,??~状态转移律

D={(u, v)?u+v=1, 2} ~允许决策集合

多步决策问题

求dk?D(k=1,2, ?n), 使sk?S, 并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).

模型求解

?穷举法~ 编程上机

S={(x, y)?x=0, y=0,1,2,3;

x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}

y3210?图解法

状态s=(x,y) ~ 16个格点允许状态~ 10个点允许决策~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.

s1d1

d1, ?，d11给出安全渡河方案d11评注和思考

规格化方法,易于推广

sn+1

123x考虑4名商人各带一随从的情况

1.3.3 如何预报人口的增长

背景

世界人口增长概况

年1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60中国人口增长概况

年1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律

控制人口过快增长