概率论与数理统计习题二答案
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只
球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】X的可能取值为3,4,5，其取不同值的概率为
C2134P?X?3??3?0.1,P?X?4??3?0.3,P?X?5??3?0.6
C5C5C5故所求分布律为 X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；（2） X的分布函数并作图； (3)P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}. 【解】X的可能取值为0,1,2，其取不同值的概率为
123232321C13C1C2221212C132C13P?X?0??3?,P?X?1??3?,P?X?2??3?.
C1535C1535C1535故X的分布律为 X P
0 1 2 22 3512 351 35（2） 当x?0时，F(x)?P?X?x??0
当0?x?1时，F(x)?P?X?x??P?X?0??22 3534 35当1?x?2时，F(x)?P?X?x??P?X?0??P?X?1??当x?2时，F(x)?P?X?x??P?X?0??P?X?1??P?X?2??1 故X的分布函数
x?0?0,?22?,0?x?1?35F(x)??
?34,1?x?2?35?1,x?2?(3)
1122P(X?)?F()?,2235333434P(1?X?)?F()?F(1)???0223535
3312P(1?X?)?P(X?1)?P(1?X?)?2235341P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?2)?1???0.35353.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.
【解】设X表示3次射击中击中目标的次数.则X的可能取值为0，1，2，3，显然X~b(3,0.8)其取不同值的概率为
2P?X?0??(0.2)3?0.008, P?X?1??C10.8(0.2)?0.0963P?X?2??C(0.8)0.2?0.384, P?X?3??(0.8)?0.5122323
故X的分布律为 X P X分布函数
0 0.008 1 0.096 2 0.384 3 0.512 x?0?0,?0.008,0?x?1??F(x)??0.104,1?x?2
?0.488,2?x?3?x?3??1,3次射击中至少击中2次的概率为
P?X?2??P?X?2??P?X?3??0.896
4.（1） 设随机变量X的分布律为
P?x?k??a?kk!，
其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.
（2） 设随机变量X的分布律为
P?x?k??试确定常数a. 【解】（1） 由分布律的性质知
a， k=1，2，…，N， N1??P?X?k??a?k?0k?0???kk!???age?
故 a?e (2) 由分布律的性质知
1??P?X?k???k?1k?1NNa?a N即 a?1.
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】设X、Y分别表示甲、乙投中次数，则X~b(3,0.6),Y~b(3,0.7)
(1) P?X?Y??P?X?0,Y?0??P?X?1,Y?1??P?X?2,Y?2??P?X?3,Y?3?
212222233?(0.4)3(0.3)3?C130.6(0.4)C30.7(0.3)+C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3?(0.6)(0.7)
?0.32076
(2) P?X?Y??P?X?1,Y?0??P?X?2,Y?0??P?X?3,Y?0? ?P?X?2,Y?1??P?X?3,Y?1??P?X?3,Y?2?
23223332212?C130.6(0.4)(0.3)?C3(0.6)0.4(0.3)?(0.6)(0.3)?C3(0.6)0.4C30.7(0.3) 2322?(0.6)3C130.7(0.3)?(0.6)C3(0.7)0.3=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑
道，根据题意有
P?X?N??0.01
即 利用泊松定理近似计算
k?N?1?200k200?kCk?0.01 200(0.02)(0.98)??np?200?0.02?4.
?e?44ke?44kP?X?N??????0.01
k!k!k?N?1k?N?1200查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）
P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)
?1?e?0.1?0.1?e?0.1
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p，则
4223C15p(1?p)?C5p(1?p)
故 p?
1
3
4所以 P(X?4)?C5()14210?. 332439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】设B表示指示灯发出信号
（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~B(5,0.3) 。 所求概率为
kP(B)?P(X?3)??C5(0.3)k(0.7)5?k?0.16308
k?35(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~B(7,0.3)，所求概率为
kP(B)?P(Y?3)??C7(0.3)k(0.7)7?k?0.35293
k?3710.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为
而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】??t的泊松分布，2t 2?1.5ke?1.53,k?0,1,2,L （1）???1.5 P?X?k???k!2k?0从而 P(X?0)?e?32?0.2231
?2.5ke?2.55,k?0,1,2,L (2) ???2.5 P?X?k???k!2k?0P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?2.5?0.918
kk2?k11.设 P{X=k}=C2p(1?p), k=0,1,2
mm4?mP{Y=m}=C4p(1?p), m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=【解】因为P(X?1)?5，试求P{Y≥1}. 954，所以 P(X?1)?. 99412即 P(X?0)?(1?p)? ，可得 p?.
39从而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)?465?0.80247 8112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中
恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松定理近似计算,
??np?2000?0.001?2
P?X?5??C52000(0.001)(0.999)54995e?225??0.0018
5!31，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试44验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。
13.进行某种试验，成功的概率为
【解】X的可能取值为 1,2,3,L，X的分布律为
13P?X?k??()k?1,k?1,2,3,L
44X取偶数的概率为
p?P?X?2??P?X?4??L?P?X?2k??L 113131331?g?()3?L?()2k?1?L?g4? 44444441?(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
概率论与数理统计复旦大学出版社第二章课后答案
