北大附中天津东丽湖学校数学圆 几何综合（提升篇）（Word版 含
解析）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．如图，在直角体系中,直线AB交x轴于点A(5,0),交y轴于点B,AO是⊙M的直径,其半圆交AB于点C,且AC=3.取BO的中点D,连接CD、MD和OC． （1）求证：CD是⊙M的切线；
（2）二次函数的图象经过点D、M、A,其对称轴上有一动点P,连接PD、PM,求△PDM的周长最小时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下,当△PDM的周长最小时,抛物线上是否存在点Q，使S△PDM=6S△QAM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）证明：连接CM，
∵OA 为⊙M直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D为OB中点，∴DC=DO．∴∠DCO=∠DOC． ∵MO=MC，∴∠MCO=∠MOC． ∴
又∵点C在⊙M上，∴DC是⊙M的切线． （2）∵A点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt△ACO中，∴?．
，解得OD?．
545?(x?（)x?5)，∴1215210． 3又∵D为OB中点，∴
1515?52．∴D点坐标为（0，)．
44连接AD，设直线AD的解析式为y=kx+b，则有
解得．
∴直线AD为
∵二次函数的图象过M（∴抛物线对称轴x=
15． 4．
5，0)、A(5，0)， 6∵点M、A关于直线x=∴PD+PM为最小．
1515对称，设直线AD与直线x=交于点P， 4415的交点． 4又∵DM为定长，∴满足条件的点P为直线AD与直线x=当x=
4515(x?（)x?5)． 时，y?4152515，）． 4652∴P点的坐标为（（3）存在． ∵
)x?5) ，y?a(x?（51515)，P（，）， 446，解得yQ=±
又由（2）知D（0，∴由
，得
10．
3∵二次函数的图像过M(0，∴设二次函数解析式为又∵该图象过点D（0，∴二次函数解析式为
5)、A(5，0）， 6，
15)，∴4，解得a=
．
5． 12又∵Q点在抛物线上，且yQ=±∴当yQ=当yQ=?10． 3，解得x=10时，315?5215?52或x=；
4415． 45时，12，解得x=
∴点Q的坐标为（【解析】
51515?521015?5210，)，或（，)，或（，?）．
4331244试题分析：（1）连接CM，可以得出CM=OM，就有∠MOC=∠MCO，由OA为直径，就有∠ACO=90°，D为OB的中点，就有CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论．
（2）根据条件可以得出OC?OA2?AC2?52?32?4和tan?OAC?OCOB?，ACOA从而求出OB的值，根据D是OB的中点就可以求出D的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD交对称轴于P，先求出AD的解析式就可以求出P的坐标． （3）根据S?PDM?S?DAM?S?PAM，式即可求得横坐标．
求出Q的纵坐标，求出二次函数解析
2．如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB， （1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）OA，OB分别交⊙O于点D，E，AO的延长线交⊙O于点F，若AB＝4AD，求sin∠CFE的值．
【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
5 5（1）根据等腰三角形性质得出OC⊥AB，根据切线的判定得出即可；
（2）连接OC、DC，证△ADC∽△ACF，求出AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出DC=35x，DF=3x，解直角三角形求出sin∠AFC，即可求出答案． 5【详解】
（1）证明：连接OC，如图1，
北大附中天津东丽湖学校数学圆 几何综合(提升篇)(Word版 含解析)
