第24讲 导数中的恒成立问题
1．若?x?(0,??)，1?ln(x?1)kx?x?1恒成立，则整数k的最大值为( ) A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】解：1?ln(x?1)kx?x?1恒成立， 即h(x)?(x?1)[1?ln(x?1)]x?k恒成立，
即h(x)的最小值大于k， h?(x)?x?1?ln(x?1)x2，
令g(x)?x?1?ln(x?1)(x?0)， 则g?(x)?xx?1?0，?g(x)在(0,??)上单调递增， 又g（2）?1?ln3?0，g（3）?2?2ln2?0，
?g(x)?0存在唯一实根a，且满足a?(2,3)，a?1?ln(a?1)．
当x?a时，g(x)?0，h?(x)?0； 当0?x?a时，g(x)?0，h?(x)?0，
?h(x)(a?1)[1?ln(a?1)]min?h(a)?a?a?1?(3,4)，
故整数k的最大值为3． 故选：C．
2．已知关于x的不等式ex?lnx?a在(0,??)恒成立，则整数a的最大取值为( )A．3
B．1 C．2 【解析】解：若关于x的不等式ex?lnx?a在(0,??)恒成立， 即a?ex?lnx在(0,??)恒成立， 令h(x)?ex?lnx，h?(x)?ex?1x，h??(x)?ex?1x2?0， 故h?(x)在(0,??)递增，而x?0时，h?(x)???，h?（1）?e?1?0， 故存在x0，使得h?(x0)?0，故ex0?1x， 0故h(x)在(0,x0)递减，在(x0，??)递增，
D．0
故h(x)min?h(x0)?ex0?lnx0?ex0?lnex0?x0?故a2， 故选：C． 3．已知函数f(x)?1x02，
12x?2x,g(x)?lnx，当x?1时，不等式2f?(x)?xg(x)?3?m(x?1)恒成立，则整数m的2最大值为 4 ． 【解析】解：f?(x)?x?2，
x?1时，不等式2f?(x)?xg(x)?3?m(x?1)恒成立，
亦即m?xlnx?2x?1xlnx?1??2对一切x?(1,??)恒成立，
x?1x?1xlnx?1?2对任意x?1恒成立． x?1所以不等式转化为m?设p(x)?x?lnx?2xlnx?1， ?2，则p?(x)?(x?1)2x?11x?1??0 xx令r(x)?x?lnx?2(x?1)，则r?(x)?1?所以r(x)在(1,??)上单调递增．
因为r（3）?3?ln3?2?1?ln3?0，r（4）?4?ln4?2?2?2ln2?0， 所以r(x)?0在(1,??)上存在唯一实根x0，且满足x0?(3,4)， 当1?x?x0时，r(x)?0，即p?(x)?0； 当x?x0时，r(x)?0，即p?(x)?0．
所以函数p(x)在(1,x0)上单调递减，在(x0，??)上单调递增， 又r(x0)?x0?lnx0?2?0，所以lnx0?x0?2． 所以[p(x)]min?p(x0)?x0(x0?2)?1?x0?1?2?(4,5)，
x0?1所以m?[p(x)]min?x0?1?2?(4,5) 故整数m的最大值是4． 故答案为：4．
4．已知函数f(x)?lnx,g(x)?最大值为 4 ．
【解析】解：因为当x?1时，不等式k(x?1)?xf(x)?2g?(x)?3恒成立， 即k(x?1)?xlnx?2(x?2)?3对一切x?(1,??)恒成立，
12x?2x，当x?1时，不等式k(x?1)?xf(x)?2g?(x)?3恒成立，则整数k的2
亦即k?xlnx?2x?1xlnx?1??2对一切x?(1,??)恒成立，
x?1x?1xlnx?1?2对任意x?1恒成立． x?1所以不等式转化为k?设p(x)?x?lnx?2xlnx?1， ?2，则p?(x)?(x?1)2x?11x?1??0 xx令r(x)?x?lnx?2(x?1)，则r?(x)?1?所以r(x)在(1,??)上单调递增．
因为r（3）?3?ln3?2?1?ln3?0，r（4）?4?ln4?2?2?2ln2?0， 所以r(x)?0在(1,??)上存在唯一实根x0，且满足x0?(3,4)， 当1?x?x0时，r(x)?0，即p?(x)?0； 当x?x0时，r(x)?0，即p?(x)?0． 所以函数p(x)?xlnx?1?2在(1,x0)上单调递减，在(x0，??)上单调递增， x?1又r(x0)?x0?lnx0?2?0，所以lnx0?x0?2． 所以[p(x)]min?p(x0)?x0lnx0?1x(x?2)?1?2?00?x0?1?2?(4,5)，
x0?1x0?1所以k?[p(x)]min?x0?1?2?(4,5) 故整数k的最大值是4． 故答案为：4
5．已知函数f(x)?ln(x?1)，g(x)?axex，a?R． （1）若函数h(x)?x2?x?2f(x)，求函数h(x)的单调区间；
（2）若对任意的x?[0，??)，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】解：（1）由题意得h(x)?x2?x?2f(x)?x2?x?2ln(x?1)， 函数的定义域是(?1,??)， 故h?(x)?2x?1?2(2x?3)(x?1)， ?x?1x?13令h?(x)?0，解得：x?1或x??（舍)，
2故当?1?x?1时，h?(x)?0，h(x)递减，当x?1时，h?(x)?0，h(x)递增， 故函数h(x)在(?1,1)递减，在(1,??)递增；
（2）对任意x?[0，??)，不等式f(x)g(x)恒成立
第24讲 导数中的恒成立问题(解析版)
