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附加题归类分析及应对策略
一、附加题的两点共识
1．数学附加题的40分与I卷的160分对理科同学同等重要．
2．数学附加题得很高的分数不容易，但要得到基本分还是不困难的．原因：
（1）考试说明要求附加题部分易、中、难题的占分比例控制在5:4:1左右，即中低档题占总分的90％左右．
（2）考试时间仅有30分钟，因此运算量与思维量都会控制． （3）准确定位，合理取舍．
二、各模块归类分析及应对策略
附加题的知识内容比较多，根据江苏高考说明，考查选修系列2中的内容，主要有：曲线方程与抛物线，空间向量与立体几何，复合函数的导数，数学归纳法，排列组合与二项式定理，离散型随机变量的分布列、期望与方差，以及选修4系列中的《4-1几何证明选讲》，《4-2矩阵与变换》，《4-4坐标系与参数方程》，《4-5不等式选讲》．
四年高考考查内容 矩阵与 变换 坐标系与参数方程 22题 23题 （一）矩阵与变换
考点一：二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法．
例1（南京市2008－2009学年度第一学期期末调研）在直角坐标系中，已知△ABC的顶点
曲线与变换 椭圆的参数方程 的应用 向量的夹角 组合恒等式证明 逆矩阵 与列向量的乘法 参数方程化普通 方程 直线与抛物线 概率与不等式 极坐标方程化直角坐标方程 概率 数学归纳法 与列向量的乘法 参数方程化普通 方程 二面角的计算 组合计数 2008年 2009年 2010年 矩阵与矩阵、矩阵2011年 矩阵与矩阵、矩阵?0 －1?坐标为A(0，0)，B(－1，2)，C(0，3)．求△ABC在矩阵??作用下变换所得到的图形的面
?1 0?
积．
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3
答案：S△A′B′C′＝2．
变化1：（2010年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，0)，B(－2，0)，C(－2，
?k 0??0 1?
1)．设k为非零实数，矩阵M＝??，N＝??，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得
?0 1??1 0?
到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值． 答案：2或－2．
?1 1??1?
变化2：（2011年江苏高考）已知矩阵A＝??，向量?＝??，求向量?，使得A2?＝?．
?2 1??2?
?－1?
答案：?＝??．
? 2?
应对策略：熟练掌握二阶矩阵与列向量的运算的运算法则，注意不能将列向量写在二阶矩阵左边；使用待定系数法过程中务必注意解方程或方程组的准确性，检验是一个好习惯．
考点二：二阶矩阵与平面变换 例2在平面直角坐标系xOy中，设椭圆曲线F，求F的方程． 答案：x2＋y2＝1．
4x2＋y2＝1
?2 0?
在矩阵A＝??对应的变换作用下得到
?0 1?
?1 2 ?
变化1：（南京市2009－2010学年度第一学期期末调研测）求直线2x＋y－1＝0在矩阵??
?0 2?
作用下变换得到的直线的方程． 答案：4x – 3y – 2 ＝ 0．
说明：直线变换为直线，直接用两点变换相对简单．
应对策略：除了某些情形下使用点的变换代替曲线的变换外，应熟练掌握这类问题一般处理步骤．例如已知曲线C的方程，求变换后的曲线C1的方程的过程分三步：1．利用矩阵与列向量乘法将目标曲线C1上的任意一点（x，y）的坐标用源曲线上的对应点(x′，y′)的坐标表示；2．用x，y反表示x′，y′；3．将x′，y′带回曲线C的方程，得到x，y的等式，该等式即所求曲线C1的方程．
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变化2：（南京市2010届第三次模拟）如果曲线得到曲线x2－y2＝1，求a＋b的值． 答案：2．
说明：也可以通过特殊点的变换得到a，b的方程组．
变化3：已知△ABC，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．
（1）分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；
（2）求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．
x2＋4xy＋3y2＝1
?1 a?
在矩阵??的作用下变换
?b 1?
?1 0??0 －1?；
答案：（1）M1＝0 －1，M2＝
???1 0?
（2）(1，2)．
说明：可以依次计算两次变换下的对应点，也可以利用矩阵乘法将连续两次变换等效为一次变换，应注意该变换对应的矩阵应该是第二次变换对应的矩阵左乘第一次变换对应的矩阵，在本题中即M2 M1，矩阵乘法是不满足交换律的．
考点三： 逆矩阵
?3 2?
例3（2009年江苏高考）求矩阵A＝??的逆矩阵．
?2 1??－1 2?－
答案：A1＝?? ．
? 2 －3?
说明：方法一，根据A A1＝E，利用待定系数法求解；方法二：直接利用公式计算． 应对策略：待定系数法，运算量比较大，直接利用公式计算简便，但公式不能出错，另外为了防止缺少解题过程之嫌，最好将公式书写一遍．
－
?－4 3??1 0?
变化1：已知 ?? B＝?? ，求二阶矩阵B．
?1 2??4 －1?
答案：B＝
?－4 3?． ? 4 －2?
变化2：已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A(1，2)变成了点A′(7，10)，点B(2，
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0)变成了点B′(2，4)，求矩阵M的逆矩阵M1．
－答案：M
－1
?－2 2?＝? ．
1?? 1 －2?
－－3
说明：可以先求矩阵M，再求M1，也可以直接利用逆变换直接求M1．
变化3：（2011年3月苏、锡、常、镇四市教学情况调查）已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．
? 22 －22?答案：?．
22??－2 －2?
说明： (M2M1)1＝M11 M21．
考点4：特征值与特征向量
－
－
－
? 1 2??7?
例4已知矩阵A＝??，向量?＝??．
?4??－1 4?
（1）求A的特征值?1、?2和特征向量?1、?2； （2）计算A5?的值．
?2??1??435?
答案：（1）?1＝2，?1＝??；?1＝3，?2＝??；（2）??．
?1??1??339?
说明：（2）中出现错误的一种原因是忽视了特征值与特征向量的对应性．
应对策略：一、记忆特征多项式，和这类问题的求解步骤；二、理解特征值与特征向量理论．
?(λ－a)x－by＝0，?λ－a b??a b??x??x?
理论： ?? ??＝???，即?方程组有不全为0的解，即??
?－cx＋(λ－b)y＝0．?c d??y??y??－c λ－d?
＝0．
?1 2?
变化1：（盐城市2011届第二次模拟）已知矩阵M＝??的一个特征值为3，求其另一个特
?2 x?
征值． 答案：－1．
?a b?
变化2：（南通市2011届第二次模拟）已知二阶矩阵A＝??，矩阵A属于特征值?1＝－1
?c d?
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? 1??3?
的一个特征向量为?1＝??，属于特征值?2＝4的一个特征向量为?2＝??．求矩阵A．
?2??－1??2 3?
答案：A＝??．
?2 1?
教材中的几种常见变换矩阵一般不要求记忆，但如果能识别一下矩阵，可以简化一些运算，上述选题中有不少这样的问题． 以下内容最好能记忆：
?cos? －sin??1．旋转变换矩阵??．记忆三部分特征：第一列平方和是1，且类似单位圆的参
sin? cos ???
数方程；主对角线上两数相等，副对角线上两数互为相反数．
2．二阶矩阵M＝?
?a b?
?的逆矩阵为M－1?c d?
－bd ?ad－?1? d －b?bcad－bc? d －b???＝?＝．其中???是|M|?－c a?－c－c aa???? ?ad－bcad－bc?矩阵M主对角线上两数交换，副对角线上两数变为相反数得到． ?a b???－a －b?
3．矩阵??特征多项式f(?)＝??．
?－c ?－d??c d?
（二）坐标系与参数方程 考点1：极坐标化为与直角坐标
例1（2010年高考题）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
答案：a＝2，或a＝－8．
π
例2（盐城市2011届第二次模拟）若两条曲线的极坐标方程分别为?＝1与?＝2cos(?＋3)，它们相交于A、B两点，求线段AB的长． 答案：3．
??ρcosθ＝x，
应对策略：1．熟练掌握极坐标方程化为与直角坐标方程的公式?ρsinθ＝y，不能出现类似
??2＝x2＋y2．?
于ρcosθ＝y的错误，应注意一些不能套用公式转化的特殊情形．
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江苏省南京市2012届高三数学二轮复习讲座7——附加题归类分析及应对策略
