作品编号：DG13485201600078972981 创作者： 玫霸*
高中函数定义域和值域的求法总结
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数y?x2?2x?15的定义域。
|x?3|?8解：要使函数有意义，则必须满足
?x2?2x?15?0① ?②?|x?3|?8?0由①解得 x??3或x?5。 ③ 由②解得 x?5或x??11 ④
③和④求交集得x??3且x??11或x>5。
故所求函数的定义域为{x|x??3且x??11}?{x|x?5}。
1例2 求函数y?sinx?的定义域。
216?x解：要使函数有意义，则必须满足
①?sinx?0 ?2②?16?x?0由①解得2k??x???2k?，k?Z 由②解得?4?x?4
③
④
由③和④求公共部分，得 ?4?x???或0?x?? 故函数的定义域为(?4，??]?(0，?] 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。 （2）其解法是：已知f(x)的定义域是［a，b］求f[g(x)]的定义域是解a?g(x)?b，即为所求的定义域。
例3 已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x2?1)的定义域。
解：令?2?x2?1?2，得?1?x2?3，即0?x2?3，因此0?|x|?3，从而?3?x?3，故函数的定义域是{x|?3?x?（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a?x?b，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4 已知f(2x?1)的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为1?x?2，2?2x?4，3?2x?1?5。 即函数f(x)的定义域是{x|3?x?5}。 三、逆向型
3}。
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数y?mx2?6mx?m?8的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明mx2?6mx?8?m?0，使一切x∈R都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m?0进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R；
当m?0时，mx2?6mx?m?8?0是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是
?m?0?2???(?6m)?4m(m?8)?0 ?0?m?1综上可知0?m?1。
评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。
kx?7的定义域是R，求实数k的取值范围。 2kx?4kx?3解：要使函数有意义，则必须kx2?4kx?3≠0恒成立，因为f(x)的定义域为R，
例6 已知函数f(x)?即kx2?4kx?3?0无实数
①当k≠0时，??16k2?4?3k?0恒成立，解得0?k?②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。 综上k的取值范围是0?k?3； 43。 4四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。
例7 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。
解：设矩形一边为x，则另一边长为
1(a?2x)于是可得矩形面积。 211y?x?(a?2x)?ax?x2
221??x2?ax。
2由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
?x?0?x?0?? ?1?a?2x?0(a?2x)?0???2a?0?x?。
2故所求函数的解析式为y??x2?a1。 ax，定义域为（0，）22例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为
2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
因为CD=AB=2x，所以CD??x，所以AD??L?AB?CDL?2x??x， ?22?L?2x??x?x2故y?2x? ?22???(2?)x2?Lx
2根据实际问题的意义知
?2x?0L??0?x? ?L?2x??x??2?0?2?L?故函数的解析式为y??(2?)x2?Lx，定义域（0，）。
??22五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 例9 已知f(x)的定义域为［0，1］，求函数F(x)?f(x?a)?f(x?a)的定义域。 解：因为f(x)的定义域为［0，1］，即0?x?1。故函数F(x)的定义域为下列不等式组的解集：
?0?x?a?1??a?x?1?a，即 ??0?x?a?1a?x?1?a??即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知
1?a?0时，F（x）的定义域为{x|?a?x?1?a}； 21（2）当0?a?时，F（x）的定义域为{x|a?x?1?a}；
211（3）当a?或a??时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函
22（1）当?数。
六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
2例10 求函数y?log2(?x?2x?3)的单调区间。
解：由?x2?2x?3?0，即x2?2x?3?0，解得?1?x?3。即函数y的定义域为（－1，3）。 函数y?log2(?x2?2x?3)是由函数y?log2t，t??x2?2x?3复合而成的。
t??x2?2x?3??(x?1)2?4，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在
1]上是增函数；??)上是减函数，区间(??，在区间[1，而y?log2t在其定义域上单调
增；
(?1，3)?(??，1]?(?1，1]，(?1，3)?[1，??)?[1，3)
，所以函数
y?log2(?x2?2x?3)在区间(?1，3)上是减函数。 1]上是增函数，在区间[1，
函数值域求法十一种
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数解：∵x?0
1?0∴x
y?1x的值域。
显然函数的值域是：(??,0)?(0,??) 例2. 求函数y?3?x的值域。 解：∵x?0 ??x?0,3?x?3
故函数的值域是：[??,3] 2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2 例3. 求函数y?x?2x?5,x?[?1,2]的值域。
2y?(x?1)?4 解：将函数配方得：
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∵x?[?1,2]
由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin?4，当x??1时，ymax?8 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法
1?x?x2y?1?x2 例4. 求函数
的值域。
解：原函数化为关于x的一元二次方程 (y?1)x2?(y?1)x?0 （1）当y?1时，x?R ??(?1)2?4(y?1)(y?1)?0
13?y?2 解得：2?13?1??,?（2）当y=1时，x?0，而?22? ?13??2,2?故函数的值域为??
例5. 求函数y?x?x(2?x)的值域。
22解：两边平方整理得：2x?2(y?1)x?y?0（1） ∵x?R
2??4(y?1)?8y?0 ∴
解得：1?2?y?1?2
但此时的函数的定义域由x(2?x)?0，得0?x?2
22由??0，仅保证关于x的方程：2x?2(y?1)x?y?0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 ??0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此
?13??2,2?函数的值域为??。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0?x?2
?y?x?x(2?x)?0
?ymin?0,y?1?2代入方程（1）
解得：
x1?2?2?2422?[0,2]
时，
原函数的值域为：[0,1?2]
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x?4 例6. 求函数5x?6值域。
2?2?242x1?2即当
函数定义域值域求法(全十一种)
