11．(2024·全国Ⅰ)已知数列{aann}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝n. (1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式．
解 (1)由条件可得a2?n＋1?
n＋1＝nan，
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得
an＋1n＋1＝2ann，即bn＋1＝2bn， 又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得an＝2n－1
n，
所以a－1
n＝n·2
n.
12．已知数列{a＋1
*
n}满足a1＝1，an＋an2＝2，an＋2＝
a2
，n∈N.
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明 b1＝a2－a1＝1. 当n≥2时，bn－1＋ann＝an＋1－an＝
a2
－an
＝－12(a)＝－1
n－an－12
bn－1，
∴{b}是以1为首项，－1
n2
为公比的等比数列．
(2)解 由(1)知bn＝an＋1－an＝??1?－2??n－1
?
，
当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋??1?－2???＋…＋??1?－2??n－2
?
1－??－1??n－1＝1＋?2?
1－??1?－2???
16
2??1?n－1?＝1＋?1－?－??
3??2??52?1?n－1＝－?－?. 33?2?
52?1?1－1
当n＝1时，－×?－?＝1＝a1，
33?2?52?1?n－1*
∴an＝－?－?(n∈N)．
33?2?
132
13．(2024·北师大附中模拟)正项等比数列{an}中的a1，a4037是函数f(x)＝x－4x＋6x－3
3的极值点，则log6a2024等于( )
A．1B．2C．－1D.2 答案 A
解析 因为f′(x)＝x－8x＋6，所以a1·a4037＝6， 所以a2024＝6(舍负)，log62
a2024＝1.
n＋1
14．(2024·皖南八校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn＝2列{bn}的前n项和为Tn，则满足Tn>1024的最小n的值为． 答案 9
解析 由数列{an}的前n项和为Sn＝2则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2
n＋1
n＋1
－2，bn＝log2(an·2n)，数
2
a－2，
n－2－2＋2＝2，
na1＝S1＝2，满足上式，
所以bn＝log2(an·2n)＝log2an＋log22n＝2n＋2，
2
2
aan 17
所以数列{bn}的前n和为Tn＝＝n(n＋1)＋2
n＋1
n?2＋2n?2?1－2n?
2
＋
1－2
－2，
10
当n＝9时，T9＝9×10＋2－2＝1112>1024， 当n＝8时，T8＝8×9＋2－2＝582<1024， 所以满足Tn>1024的最小n的值为9.
9
15．已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1的n的最小值为( ) A．4 C．6 答案 C
解析 ∵{an}是各项均为正数的等比数列，且a2a4＝a3，∴a3＝a3，∴a3＝1.又∵q>1，∴a1 2 B．5 D．7 an>1(n>3)，∴Tn>Tn－1(n≥4，n∈N*)，T1<1，T2＝a1·a2<1，T3＝a1·a2·a3＝a1a2＝T2<1，T4＝a1a2a3a4 ＝a1<1，T5＝a1·a2·a3·a4·a5＝a3＝1，T6＝T5·a6＝a6>1，故n的最小值为6，故选C. 16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；….设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt，2，并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2－1，n∈N，求数列{an}的通项公式． 解 an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)， 所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2] ＝log2(1·x1·x2·x3·…·xt·2)＝3an－1， 1?1? 所以an＋1－＝3?an－?， 2?2? 2 3 3 3 3 25 n* 18 ?1?3 所以数列?an－?是一个以为首项，以3为公比的等比数列， 2?2? 13n－13＋1 所以an－＝×3，所以an＝. 222 n 19
(鲁京津琼专用)2024版高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和教案(含解析)
