等差数列与等比数列
关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．
例1(2018·蓉城名校联考)已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，则
a3＋a6＋a11
的值为( )
a1＋a8＋a10
1312111A.B.C.D. 1413123答案 A
解析 已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列， ∴a5＝a2a7，∴(a1＋4d)＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴10d＝－a1d，∵d≠0，∴－10d＝a1，∴＝
3a1＋17d－30d＋17d13
＝＝. 3a1＋16d－30d＋16d14
2
2
2
a3＋a6＋a11a1＋a8＋a10
例2 (2018·烟台质检)已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为( ) A．3n＋1 3n＋nC. 2答案 C
解析 ∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1， ∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1， 又数列{an}为等比数列， ∴数列{an}的公比为q＝3，
2
B．3n－1 3n－nD.
2
2
11
∴bn＋1－bn＝
an＋1
＝3， an∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列， ∴数列{bn}的前n项和为Sn＝2n＋
n?n－1?
23n＋n×3＝.故选C.
2
2
1．(2018·重庆巴蜀中学月考)已知等比数列{an}满足a1＝1，a3a7＝16，则该数列的公比为( ) A．±2 C．±2 答案 A
解析 根据等比数列的性质可得a3·a7＝a5＝a1·q＝q＝16＝2， 所以q＝2，即q＝±2，故选A.
2
2
2
8
8
4
B.2 D．2
12
2．(2018·菏泽模拟)等比数列{an}中，a2，a16是方程x＋6x＋2＝0的两个实数根，则值为( ) A．2 C.2 答案 B
解析 ∵a2，a16是方程x＋6x＋2＝0的根，
∴a2＋a16＝－6，a2×a16＝2，∴a2<0，a16<0，即a1>0，q<0或a1<0，q>0.∴＝±2.故选B.
3．(2018·马鞍山质检)等比数列{an}的前n项和为Sn＝31A. 31C. 9答案 B
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋r， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＝3
2n－3
2n－1
2n－1
2
2
a2a16
的a9
B．－2或2 D．－2
a2a16
＝a9＝±a2a16a9
＋r，则r的值为( )
1B．－
31D．－
9
－3
2n－2
2n－3
－1
(3－1)＝8·3
22n－3
＝8·3·3
8n－1
＝·9， 3
81
所以3＋r＝，即r＝－，故选B.
33
4．(2018·湘潭模拟)已知等比数列{an}的公比为－2，且Sn为其前n项和，则等于( ) A．－5B．－3C．5D．3 答案 C
解析 由题意可得，
S4
S2
a1[1－?－2?4]
1－?－2?S42
＝2＝1＋(－2)＝5. S2a1[1－?－2?]
1－?－2?
5．(2019·西北师大附中冲刺诊断)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )
13
A．10B．9C．8D．7 答案 C
解析 设该女子第一天织布x尺， 则
x?1－25?
5
＝5，解得x＝， 1－231
5n所以前n天织布的尺数为(2－1)，
31
5nn由(2－1)≥30，得2≥187，解得n的最小值为8. 31
6．(2018·海南联考)已知正项数列{an}满足an＋1－2an－an＋1an＝0，设bn＝log2的前n项和为( ) A．n C.
B.
D.
2
2
an＋1
，则数列{bn}a1
n?n－1?
2
n?n＋1?
2?n＋1??n＋2?
2
答案 C
解析 由an＋1－2an－an＋1an＝0，
可得(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，又an>0，∴∴an＋1＝a1·2. ∴bn＝log2
n2
2
an＋1
＝2， anan＋1n＝log22＝n， a1
n?n＋1?
∴数列{bn}的前n项和为
，故选C. 2
7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2018，a2＋a4＝－2a3，则S2019＝. 答案 2018
解析 ∵a2＋a4＝－2a3，
∴a2＋a4＋2a3＝0，a2＋2a2q＋a2q＝0， ∴q＋2q＋1＝0，解得q＝－1. ∵a1＝2018，
2
2
a1?1－q2019?2018×[1－?－1?2019]
∴S2019＝＝ 1－q2
＝2018.
8.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为
2
，则其最小正方形的边长为． 2
14
答案
1 32
22
为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到 22
2?2?9
×??2?2?
解析 由题意，得正方形的边长构成以1023个正方形，则有1＋2＋…＋21＝. 32
n－1
＝1023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为
1
9．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1＝，且a2a8＝2a5＋3，则a9＝.
2答案 18
解析 ∵a2a8＝2a5＋3，∴a5＝2a5＋3，
1448
解得a5＝3(舍负)，即a1q＝3，则q＝6，a9＝a1q＝×36＝18.
2
10．(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝2a5，且S4＋S12＝λS8，则λ＝. 8答案 3
解析 ∵a3a11＝2a5，∴a7＝2a5，∴q＝2， ∵S4＋S12＝λS8，
2
2
2
4
2
2
a1?1－q4?a1?1－q12?λa1?1－q8?∴＋＝，
1－q1－q1－q1－q＋1－q＝λ(1－q)， 84
将q＝2代入计算可得λ＝. 3
4
12
8
15
(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和教案(含解析)
