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2017湖北襄阳四中五中自主招生考试数学试题(含答案解析)

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2017年襄阳四中、五中自主招生考试

数学试题

考试时间:120分钟 试卷满分:150分

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的. 1.16的平方根(▲)

A.?4

B.2

C.-2

D.?2

?2x?1?1,2.不等式组??????12x?1的正整数解的个数为(▲)

A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个

3. 某校13名同学参加数学竞赛初赛,他们的分数互不相同,按从高分录到低分的原则,取前7名同

学参加复赛,现在小明同学已经知道自己的分数,如果他想知道自己能否进入复赛,那么还需知道所有参赛学生成绩的(▲) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差

4.如图是由单位立方体构成的积木垛的三视图,据此三视图可知,构成这堆积木垛的

单位正方体共有(▲) A.6块 B.7块 C.8块 D.9块 5. 如图,正方形ABCD的边长为2cm,动点P从点B出发,在正方形的边上沿B→C→D

的方向运动到点D停止,设点P的运动路程为x(cm),在下列图象中,能表示△ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的图象是(▲)

A. B. C. D.

6.如图,AB是半圆O的直径,点C、D是半圆O的三等分点,若弦

CDCD=1,则图中染色部分的面积为(▲)

A.

????6 B.4 C.3 D.3?34 AOB第1页(共8页)2017年自主招生考试——数学试题 (第 6 题图)

7. 已知

xyx?y?1,yzxzy?z?2,

x?z?3,则x=(▲) A.

43 B.

116 C. 512

D. 125

A 8. 如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cosA的值为(▲)

C A.12 B.55 C.1010 D.255 B

9.用[x]表示不超过x的最大整数,例如:[3.12]=3,[-5.12]=-6,把x?[x]称为x的小数部分. 已

知t?13?22,a是t的小数部分,b是?t的小数部分. 则14b?1a?(▲) A.

14 B.4

C.2 D.22

10.已知O为坐标原点,位于第一象限的点A在反比例函数y?4x(x?0)的图像上,位于第二象限的点B在反比例函数y??1x(x?0)的图像上,且OA?OB,则tan?ABO?(▲) A.

1 22B.2 C.1

D.2

二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)把答案填在答题卡的相应位置上.[来 11. 在函数y=

2x?1x?3中,自变量x的取值范围是 ▲ . 12. (3x2?2x?5)(x3?5x2?6x?7)=a5x5?a44x?a3x3?a22x?a1x?a0,则

a0?a1?a2?a3?a4?a5= ▲ ;

AB 13. 如图,CD是⊙O的直径,CD=4,∠ACD=40°,点B 为弧AD的中点,点CM OPND P是直径CD上的一个动点,则PA+PB的最小值为 ▲ .

第13第7题图题图 第2页(共8页)2017年自主招生考试——数学试题

14.平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,2).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则

满足条件的点C的个数是 ▲ . 15.观察下列各式:

1×2=

13(1×2×3?0×1×2), 2×3=13(2×3×4?1×2×3),

3×4=13(3×4×5?2×3×4),

…………

计算:3×(1×2+2×3+3×4+…+999×1000)= ▲ . 16.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,则称这个正整数为“和谐数”. 如8?32?12,16?52?32. 8和16均为“和谐数”,那么不超过2017的所有“和谐数”之和为 ▲ .

三、解答题(本大题共8个小题,共70分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,并 且写在答题卡上每题对应的答题区域内.

17.(本小题满分6分)已知多项式5x3?ax2?bx?1能被x2?1整除,且商式是5x?1,求??a?b.

A 18.(本小题满分6分)如图,在△ABC中,AD是BC上的高,AE平分

∠BAC,∠B=75°, ∠C=45°. (1)求∠DAE与∠AEC的度数; (2)求AC∶AE的值.

B D E C

(第18题图)

19.(本小题满分6分)小明、小林是某中学九年级的同班同学,在四月份举行的自主招生考试中,共有

四个选做题,分别是A平面几何,B代数综合,C概率,D初等数论. 每位考生被随机分配其中一道,他俩都不希望做初等数论.

(1)请你用画树状图法或列举法,列出所有可能的结果; (2)求两人都如愿的概率.

D

20.(本小题满分10分) 在?ABC中,?ABC?90?,?BAC?60?.

?ACD是等边三角形,E是AC的中点. 连接BE并延长,交DC与点F,求证:

A

(1)?ABE≌?CFE;

F

(2)判断四边形ABFD的形状,并证明;

E

(3)若BC=3, 求四边形ABCD的面积.

C

B

(第20题图)

第3页(共8页)2017年自主招生考试——数学试题 21. (本小题满分10分)某校九年级1班,2班准备集体购买一批T恤衫参加春季运动会,了解到某商

店正好有这种T恤衫促销,当购买5件时每件145元,购买者每增加1件,单价减少1元,当购买数量是60件以上时(含60件),一律每件80元,

(1)如果购买x(x>5)件,每件的单价为y元,请写出y关于x的函数关系式;

(2)如果1班,2班共购买了100件T恤衫,由于某种原因需分两批购买,已知第一批购买的数量多于35件而少于60件,购买两批T恤衫共花了9200元,求第一批购买T恤衫数量. 22.(本小题满分10分)若正数a,b,满足ab?1,求M?111?2a?1?b的最小值.

23.(本小题满分10分)已知抛物线y=2mx2+(1﹣4m)x+1﹣6m与x轴相交于不同的两点A、B.

(1)求m的取值范围;

(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;

(3)当

18<m≤4时,由(2)求出的点P和点A,B构成的△ABP的面积是否有最值?若有,求出该最值及相对应的m值.

24.(本小题满分12分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,⊙B与AB、BC

交于E、F,点P是弧EF上的一个动点,连接PC,线段PC绕P点逆时针旋转90°到PD,连接CD,AD.

(1)求证:△BPC∽△ADC;

(2)当四边形ABCD满足AD∥CB且面积为3时,求⊙B的半径;

(3)若⊙B的半径为1,当点P沿弧EF从点E运动至PC与⊙B相切时,求点D的运动路径长.

AD E

P

FC B

(第24题图)

第4页(共8页)2017年自主招生考试——数学试题

2017年襄阳四中、五中自主招生考试

数学参考答案

一.选择题(本题共50分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A B B B A D D A D 11.x??12 且x?3 12. 0 13.23 14.3 15. 999×1000×1001=999999000 (若写出左边的乘式没计算结果也给分) 16 5052?1 =255024(若写出左边的等式没计算结果也给分)

17. 5x3?ax2?bx?1=(x2?1)(5x?1)=5x3?x2?5x?1

A a=1, b=5………………………………………………5分 ??a?b=-1……………………………………………………6分

F 18.

(1)解:∵∠B=75°,∠C=45°, ∴∠BAC=60°.

B D E C 又AE平分∠BAC. ∴∠BAE=∠EAC=30°. 又AD⊥BC

(第18题图) ∴∠DAE=∠BAD=15°………………………………………………1分 ∠AEC=180°-∠EAC-∠C=180°-30°-45°=105°………………………………3分

(2)过E作EF垂直AC,交AC于F,设EF=1,AE=2, AF=3,CF=1,

ACAE=3?12……6分

19. 解析: (1)小明 A B C D

小林 A B C D A B C D A B C D A B C D ………………………………………………………………2分 (2)两人都如愿可能情形有AA,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CC九种 ∴p?916 …………………………………………………6分 20. 证明:(1)??ACD是等边三角形??ECF??BAC?60?

又?E是AC的中点?AE=EC

第5页(共8页)2017年自主招生考试——数学试题 ?在?ABE和?CFE中

??BAE??ECF?60???AE?EC???AEB??CEF

??ABE≌?CFE(ASA) ………………………3分

(2)四边形ABFD的形状为平形四边形 证明:??ABE≌?CFE

?BE=EF 在Rt?ABC中, ?E是AC的中点?BE=AE=EC

?BE=AE=EC=EF 即AC=BF 又??ACD是等边三角形

?AC=AD?AD=BF

又?EFC??ECF?60???ADC

?AD∥BF?四边形ABFD是平行四边形………………………7分

(3)BC=3,∠ABC=90°, ∠BAC=600 三角形ABC的面积为3,三角形ADC的面积为

34?4?3,四边形ABCD面积=

332………………………10分 21. (1)y=??150?x,5?x?60,x?60 ……………………………………………………4分

?80 (2) 设第一批购买x件,当35?x?40时,80(100?x)?(150?x)x?9200,解得

x?30或者x?40。X=30不合题意,应舍去……………………………………7分

当40?x?60时,x(150?x)?(100?x)[150?(100?x)]?9200,解得x?30或者x?70。不满足40?x?60,舍去

综上,x?40……………………………………………………………………10分

第6页(共8页)2017年自主招生考试——数学试题

2017湖北襄阳四中五中自主招生考试数学试题(含答案解析)

2017年襄阳四中、五中自主招生考试数学试题考试时间:120分钟试卷满分:150分一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.16的
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