第六章 FIR数字滤波器的设计
IIR数字滤波器的优点是可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。但它也有明显的缺点：相位的非线性将引起频率的色散，即不同频率成分有不同延时因子，这在时域上不利于信号波形的保持。若需线性相位，则要采用全通网络进行相位校正，使滤波器设计变得复杂，成本高。
现代通信技术，如语音处理、图像处理以及数据传输要求线性相位，任意幅度。而FIR数字滤波器具有严格的线性相位，同时可以具有任意的幅度特性。除此而外，FIR数字滤波器还有以下特点：
（1）FIR数字滤波器的h(n)是有限长的，因而滤波器一定是稳定的。
（2）只要经过一定的延时，任何非因果的有限长序列都变成因果的有限长序列，因而总能用因果系统来实现。
（3）FIR滤波器由于h(n)是有限长的，因而可利用FFT算法来实现过滤信号，可以大大提高运算效率。
FIR滤波器的设计方法是选择有限长度的h(n)，使系统频响H(ej?)满足要求。
本章分析的逻辑思路是：线性相位FIR滤波器的特点；FIR数字滤波器的窗函数设计法；FIR数字滤波器的频率采样设计法。
1.线性相位FIR滤波器的特点
1.1 数字滤波器的频率特性
线性相位是DF的一种频率特性，为了讨论它，需先简要复习DF的频率特性，并做进一步的深入。
所谓DF的频率特性，即：系统频响，其定义为
H(e式中，H(ej?j?)?H(z)z?ej??H(ej?)ej?(?)
)称为频率特性（系统频响）；H(ej?)称为幅频特性；?(?)称为相频特性，
它们均是?的函数。
在讨论FIR DF的频率特性时，我们还定义了它的另一种形式，即
H(ej?)?H(?)ej?(?)
式中，H(?)称为幅度特性（函数）；?(?)称为相位特性（函数）。要注意这两种定义的区别，即
（1）H(?)??H(ej?)，它可正可负，故称为幅度特性。
（2）?(?)作为相位特性，其相频曲线是连贯的，没有?(?)作为相频特性时的?相位突变。
所谓线性相位的FIR DF就是指相位特性?(?)是?的线性函数，即 ?(?)???? 或
1
?(?)??????o
式中，?为常数；?o是起始相位（初相位），也为常数，由以上两种情况可知
（1）群时延的定义为d?(?)/d?，所以以上两种情况都满足群时延是一个常数，即：
d?(?)/d????。
（2）相时延的定义为?(?)/?，所以以上两种情况的相时延是：?(?)/????（常数）或?(?)/??????o/?（不是常数）。
（3）综合（1）和（2），因为?和?o均为常数，所以线性相位的FIR DF必有恒群时延特性，但只有?o?0的FIR DF才有恒相时延特性。
1.2 线性相位条件
并非所有的FIR DF都是线性相位的，只有它满足一定条件时才具有线性相位。 使FIR DF成为线性相位的充要条件是 （1）h(n)为实数； （2 h(n)满足以n?N?1为中心偶对称：h(n)?h(N?1?n)；或奇对称：2h(n)??h(N?1?n)。
满足偶对称为第一类线性相位，满足奇对称为第二类线性相位。又由于h(n)的长度N又分为偶数和奇数两种情况，因而h(n)可以有4种类型，如P.176图6-1和图6-2所示，对应于4种线性相位FIR DF，即 第一类线性相位??第一种FIRDF：h(n)偶对称，N为奇数?第二种FIRDF：h(n)偶对称，N为偶数?第三种FIRDF：h(n)奇对称，N为奇数?第四种FIRDF：h(n)奇对称，N为偶数
第二类线性相位?
下面给出线性相位条件的推导与证明。 （1）h(n)偶对称的情况
设长度为N的实序列h(n)满足偶对称，即以n?N?1为中心，有：2h(n)?h(N?1?n)。此时，N可以为奇数或偶数。
这种情况下，H(z)按Z变换定义可以写成：
1
N?1n?0 H(z)??h(n)zN?1n?0?n
也可以写成：H(z)??h(N?1?n)z?n
对上式进行简单的数学变换可得H(z)的另一种表达形式： H(z)?z?(N?1)H(z?1)
在此基础上可进一步将H(z)写成： H(z)?11[H(z)?H(z)]?[H(z)?z?(N?1)H(z?1)] 221N?1??h(n)[z?n?z?(N?1)zn]2n?0
?z滤波器的频率响应为 H(e由上式可知：
a. 如令H(ej?N?1?()2??h(n)[n?0N?1z?(n?N?1)2?z2(n?N?1)2
]j?)?H(z)z?ej??e?j?(N?1N?1)2n?0?h(n)cos[?(n?N?1)] 2)?H(?)ej?(?)，则
H(?)??h(n)cos[?(n?n?0N?1N?1)] （1） 2 ?(?)??(N?1)? （2） 2 b. 式（1）的幅度函数H(?)是标量函数，可以包括正值、负值和零，而且是?的偶函数和周期函数。
c. 式（2）的相位函数?(?)具有严格的线性相位，如P.179图6-3所示。由于??N?1，2?o?0，所以此时的线性相位不仅恒群时延，而且恒相时延。
d. ??N?1N?1
不仅表示群时延d?(?)/d?为常数，还表示此时的FIR DF有的延22
时，即有一个等于h(n)长度N一半的延时量。 （2）h(n)奇对称的情况
1
设长度为N的实序列h(n)满足奇对称，即以n?N?1为中心，有：2h(n)??h(N?1?n)。此时，N可以为奇数或偶数。
这种情况下，H(z)按Z变换定义可以写成：
H(z)??h(n)zn?0N?1n?0N?1?n
也可以写成：H(z)???h(N?1?n)z?n
对上式进行简单的数学变换可得H(z)的另一种表达形式：
H(z)??z?(N?1)H(z?1)
在此基础上可进一步将H(z)写成： H(z)?11[H(z)?H(z)]?[H(z)?z?(N?1)H(z?1)] 221N?1??h(n)[z?n?z?(N?1)zn]2n?0?z滤波器的频率响应为
H(ej?N?1N?1?()2n?0?h(n)[z?(n?N?1)2?z2(n?N?1)2
])?H(z)?j(z?ej???je?j?(N?1N?1)2??N?1??h(n)sin?n???? ??2??n?0?? ?e由上式可知：
a. 如令H(ej?N?1?)??jN?122??N?1??h(n)sin?n???? ??2??n?0??)?H(?)ej?(?)，则
H(?)??h(n)sin[?(n?n?0N?1N?1)] （3） 2 ?(?)??(N?1?)?? （4） 22b. 式（3）的幅度函数H(?)是标量函数，可以包括正值、负值和零，而且是?的奇函数和周期函数。
1
c. 式（4）的相位函数?(?)具有严格的线性相位，如P.180图6-4所示。由于??N?1，2?o???2，所以此时的线性相位仅恒群时延。
d. ??N?1N?1
不仅表示群时延d?(?)/d?为常数，还表示此时的FIR DF有的延22
时，即有一个等于h(n)长度N一半的延时量。
备注：如式（3）表示成下式
H(?)??h(n)sin[?(n?0N?1N?1?n)] 2则式（4）可表示为
?(?)??(N?1?)?? 221.3幅度函数的特点
由于h(n)的长度N取奇数或偶数时对H(?)的特性有影响，因此，对于两类线性相位，下面分4种情况讨论其幅度特性的特点。应当指出幅度特性的特点反映了FIR DF的滤波性。 （1）h(n)偶对称，N为奇数
从h(n)偶对称的幅度函数式（1）
??N?1??H(?)??h(n)cos???n???
2??n?0??可以看出，不但h(n)对于(N?1)/2呈偶对称，cos[?(n?称，即
N?1N?1)]也对于(N?1)/2呈偶对2h(n)?h(N?1?n)
N?1N?1N?1
cos[?(n?)]?cos[?(N?1?n?)]?cos[?(?n?)]222因此，可以将?内两两相等的项合并，即n?0项与n?N?1项合并，n?1项与
n?N?2项合并，依次类推。但是由于N是奇数，两两合并的结果必然余下中间一项，即
n?(N?1)/2项是单项，无法和其他项合并，这样幅度函数可以表示为
N?1N?1N?1 H(?)?h()cos[?(?)]?222N?1 ?h()?2(N?3)(N?3)?n?022h(n)cos[?(n?N?1)] 2?n?022h(n)cos[?(n?N?1)] 2上式是由h(n)的前(N?1)/2个样值点表示的，它当然可用后(N?1)/2个样值点来表示，
1
09-10东大DSP第六章FIR数字滤波器的设计
