第3讲 平面向量的数量积及其应用
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( ) A.0
B.1
2
2
C.2
2
D.5
解析 |a－b|＝（a－b）＝a－2a·b＋b＝1＋4＝5. 答案 D
2.(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a·b|≤|a||b| C.(a＋b)＝|a＋b|
2
2
B.|a－b|≤||a|－|b|| D.(a＋b)·(a－b)＝a－b
|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零
2
2
解析 对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B. 答案 B
3.已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝( ) A.25
B.5
C.10
D.5
1－222解析 ∵a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝（－1）＋2＝5.故选
x2B. 答案 B
→
4.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，→
AD＝(2，1)，则AD·AC等于( )
A.5
B.4
C.3
D.2
→→
→→→→→
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5，选A. 答案 A
5.(2015·重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( ) πA. 3
B.π 2
2π C. 3
D.5π 6
2
解析 因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|，设a与b的夹角为θ，
a·b－2|a|212π
则cos θ＝＝，故选C. 2＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝
|a||b|4|a|23
- 1 -
答案 C 二、填空题
6.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________. 2
解析 由题意，得a·b＝0?x＋2(x＋1)＝0?x＝－.
32
答案 －
3
→→→
7.(2017·台州调研)已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，实数m的取值范围是________；若∠ABC为钝角时，实数m的取值范围是________. →→→
解析 由已知得AB＝OB－OA＝(3，1)， →→→
AC＝OC－OA＝(2－m，1－m).
1→→
若AB∥AC，则有3(1－m)＝2－m，解得m＝.
2→→
由题设知，BA＝(－3，－1)，BC＝(－1－m，－m). 3→→
若∠ABC为锐角，则由BA·BC＝3＋3m＋m>0，可得m>－；
43
若∠ABC为钝角，则m<－.
4
1→→→→
由题意知，当m＝时，AB∥AC，且AB与AC同向.
2
?31??1?故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是?－，?∪?，＋∞?，当∠ABC为钝角时，实数m?42??2?
3??的取值范围是?－∞，－?.
4??
3??31??1??答案 ?－，?∪?，＋∞? ?－∞，－?
4??42??2??8.(2017·金华十校联考)已知平面向量a，b的夹角为
π
，|a－b|＝6，向量c－a，c－b的夹3
2π
角为，|c－a|＝23，则a与c的夹角为________，a·c的最大值为________.
3→→→→→
解析 如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则|AC|＝|c－a|＝23，|AB|＝|a－b|＝6，又∵∠AOB＝
π2π
，∠ACB＝，∴O，A，B，C共圆，由正33
ππ
弦定理得∠ABC＝∠BAC＝，在△ACO中，∠AOC＝∠ABC＝，由余弦
66定理得AC＝|a|＋|c|－2|a||c|cos∠AOC，即12≥2|a||c|－3
2
2
2
- 2 -
|a||c|?|a||c|≤12(2＋3)，∴a·c＝|a||c|·cos∠AOC≤18＋123，当|a|＝|c|＝32＋6时等号成立，即a·c的最大值为18＋123. 答案
π
18＋123 6
三、解答题
9.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；
→→
(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积. 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|－4a·b－3|b|＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
2
2
a·b－61
∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－.
|a||b|4×32
2π
又0≤θ≤π，∴θ＝. 3
(2)|a＋b|＝(a＋b)＝|a|＋2a·b＋|b| ＝4＋2×(－6)＋3＝13，∴|a＋b|＝13.
2π2ππ→→
(3)∵AB与BC的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.
333→→
又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，
1→→13
∴S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC＝×4×3×＝33.
222
10.(2017·湖州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，3
sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
5(1)求sin A的值；
→→
(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影. 3
解 (1)由m·n＝－，
5
3
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
53
所以cos A＝－.因为0 5 2 2 2 2 2 2 - 3 -
高考数学总复习 第五章 平面向量、复数 第3讲 平面向
