高中微积分基本知识
第一章、 极限与连续
一、 数列的极限 1． 数列 定义：
按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 x1,K , xn ,L 叫数列，记作
xn ，并吧每个数叫做数列的 项，第 n 个数叫做 数列
的第 n 项或通项 界的概念：
一个数列 xn ，若 M
0 ， st.. 对 n
N * ，都有 xn
M ，则称 xn 是有界的 ：
若不论 M 有多大，总 m N * ， st.. xm
M ，则称 xn 是无界的
若 a xn b ，则 a 称为 xn 的下界 ， b 称为 xn 的上界
xn 有界的充要条件： xn 既有上界，又有下界
2． 数列极限的概念 定义：
设 xn 为一个数列， a 为一个常数，若对
0 ，总 N , st.. 当 n N 时，有
a 或 xn
xn a
则称 a 是数列 xn
的极限，记作 lim xn
n
a( n
)
数列有极限时，称该数列为 收敛的，否则为 发散的 几何意义：
从第 N 1项开始， xn 的所有项全部落在点 a 的 邻域 (a , a 3． 数列极限的性质 ①唯一性 ②收敛必有界 二、 函数的极限 1. 定义：两种情形 ① x
)
③保号性：极限大小关系
数列大小关系（ n
N 时）
x0 ：设 f ( x) 在点 x0 处的某去心邻域内有定义， A 为常数，若对 0 ， x0 时有
0 ，st.. 当 0 x x0
时，恒有 f ( x) A
成立， 则称 f ( x) 在 x
极限 A
x
记作 lim f ( x) A 或 f ( x)
x0
A(x
x0 )
几何意义 ：对
0 ， 0 ， st.. 当 0 x x0 时， f ( x) 介于两直线 y A
单侧极限 ：设 f ( x) 在点 x0 处的右侧某邻域内有定义，
A 为常数，若对 0 ，
0 ，st.. 当 0 x x0
时，恒有 f ( x)
A
成立，称 f ( x) 在 x0 处有右极限 A ，
记作 lim f ( x) A 或 f ( x0 ) A
x x0
lim f (x)
x x0
A 的充要条件 为： f ( x0 )
f (x0 ) = A
垂直渐近线： 当 lim f ( x)
x x0
时， x
x0 为 f (x) 在 x0 处的渐近线
② x 当 x
：设函数 f ( x) 在 x b 0 上有定义， A 为常数，若对 0 ， X
b, s..t
X 时，有 f (x)
x
A
成立，则称 f ( x) 在 x
A(x
时有极限 A ，记作 )
lim f ( x) A 或 f ( x)
lim f ( x) A 的充要条件 为： lim f (x) lim f (x)
x
A
x x
水平渐进线 ： 若 lim
x f x
( )
A
或
lim f ( x)
x
，则 是 的水平渐近线 A y A f ( x)
2. 函数极限的性质：
①唯一性
②局部有界性 ③局部保号性（②③在当 0
x x0
时成立）
三、 极限的运算法则
1． 四则运算法则
设 f ( x) 、 g(x) 的极限存在 ， lim f ( x) ① lim f ( x) g ( x) A B ② lim[ f (x) g( x)] AB ③ lim
A,lim g( x) B 则
f (x)
g( x)
A B
（当 B 0 时）
④ lim cf (x) cA ⑤ lim[ f ( x)] k （ c 为常数）
Ak （ k 为正整数 ）
2． 复合运算法则
设 y f [ ( x)] ，若 lim
x x0
(x) a ，则 lim f [ ( x)] f (a)
x x0
可以写成 lim f [ ( x)]
x x0
f [lim ( x)]
x
x0
（换元法基础）
四、极限存在准则及两个重要极限 1．极限存在准则 ①夹逼准则 设有三个数列
xn ， yn ， zn ，满足
，
yn xn zn
lim yn lim zn a
n
n
则 lim xn a
n
②单调有界准则 有界数列必有极限 3． 重要极限 ① lim
sin x
x 0
x
1
② lim 1
x
1 x
x
e 或 lim 1 x x e
x 0
1
五、无穷大与无穷小
1．无穷小：
在自变量 某个变化过程中 lim f ( x) 0 ，则称 f (x) 为 x 在该变化过程中的无穷小
※ 若 f ( x)
若 f (x)
0 ，则 f ( x) 为 x 在所有变化过程中的无穷小 ，则 f ( x) 不是无穷小
性质： 1. 有限个无穷小的代数和为无穷小
2. 3. 4. 5.
常量与无穷小的乘积为无穷小 有限个无穷小的乘积为无穷小
有极限的量与无穷小的乘积为无穷小 有界变量与无穷小的乘积为无穷小
定理： lim f ( x) A 的充要条件 是 f ( x) A ( x) ，其中 ( x) 为 x 在该变化中过程
中的无穷小
无穷小的比较： ( 趋于 0 的速度的大小比较 )
( x),
(x) ，为同一变化过程中 的无穷小 c （ c 0 常数） 则 是 的同阶无穷小
（当 c 1时为等价无穷小 ） 若 lim
若 lim
k
c （ c 0 常数） 则 是
的 k 阶无穷小
若 lim
0 则 是 的高阶无穷小
常用等价无穷小： ( x 0 ) x : sin x : tan x : arcsin x : arctan x : ln(1
x) : ex
1；
1 cos x :
x2
2
； (1
x) 1 :x ； ax
1 : x ln a
2．无穷大： 设 函数 f (x) 在 x
的某去心邻域内有定义。若对于 M
0
0 ，
0 当 s..t
0 x
称 f (x) 当 x
x0 时，恒有 f ( x) M
x0 时为无穷大，记作 lim f (x)
x x0
无穷大
定理： lim f ( x)
为无穷小
lim f ( x)
1
1
（下：趋于某点，去心邻域不为 0）
无穷小
为无穷大
lim f (x)
※ 无穷大的乘积为无穷大，
其和、差、商不确定
六、连续函数 1．定义
设函数 y 恒有：
f ( x) 在 x0 某邻域有定义，若对 f ( x)
0 ， 0 st.. 当 0
x x0
时，
f (x0 )
也可记作
lim f (x)
x x0
f (x0 )
或 lim x y 0
0
f ( x0 )
f (x0 ) （或 f ( x0 ) f ( x0 ) ）为左（或右）连续
2．函数的间断点
第一类间断点：左右极限存在
左右极限相等，该处无定义
左右极限不等
可去间断点 跳跃间断点
第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等 3. 连续函数的运算
若函数 f ( x) 与 g( x) 都在 x 处连续，则函数
f ( x) g( x) ， f ( x) g( x) ，
f (x)
g (x)
（ g (x) 0 ）
定理： y
y
f [ g (x)] ， g (x0 ) u0 ，若 g( x) 在 x0 处连续， f (g ) 在 u0 处连续，则 f [ g( x)] 在 x0 处连续
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