第1课时 三角函数的图象与性质（一）
[基础题组练]
1．x∈[0，2π]，y＝tan x＋－cos x的定义域为( )
?π?A.?0，?
2??
3π??C.?π，? 2??
tan x≥0，
B.?D.?
?π，π?
??2??3π，2π?
?
?2?
??－cos x≥0，3π??解析：选C.法一：由题意得?x∈[0，2π]，所以函数的定义域为?π，?.故选
2??
π
?x≠kπ＋，k∈Z，?2
C.
5π
法二：x＝π时，函数有意义，排除A，D；x＝时，函数有意义，排除B.故选C.
42．(2019·湖南省湘东六校联考)函数f(x)＝cosx＋3sin xcos x－1，则下列表述正确的是( )
π??π
A．f(x)在?－，－?上单调递减
6??3
2
?ππ?B．f(x)在?，?上单调递增
?63??π?C．f(x)在?－，0?上单调递减 ?6??π?D．f(x)在?0，?上单调递增
6??
- 1 -
π?1＋cos 2x3?2
解析：选D.f(x)＝cosx＋3sin xcos x－1＝＋sin 2x－1＝sin?2x＋?－
6?22?ππ1π?π??π?，由2x＋∈?－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z，解得x∈?－＋kπ，＋kπ?，k∈Z，当
2626?2??3?
????k＝0时，x∈?－，?，所以函数f(x)在?－，?上单调递增，故选D.
3636
?
?
?
?
π
3．(2019·西安市八校联考)已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小
3值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是( )
A.?
ππππ
?π，π?
??3?
B.?D.?
?π，2π?
3??3??2π，π? ?
?3?
?2π?C.?0，?
3??
ππ4ππ
解析：选A.因为0<θ<π，所以<＋θ<，又f(x)＝cos(x＋θ)在x＝时取得最3333π2π2π2π?2π?小值，所以＋θ＝π，θ＝，所以f(x)＝cos?x＋?.由0≤x≤π，得≤x＋≤3?3333?5π2π5ππ
.由π≤x＋≤，得≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间是3333
?π，π?，故选A. ?3???
?π??π??1?4．已知函数f(x)＝sin?x＋?，其中x∈?－，a?，若f(x)的值域是?－，1?，则实
6???3??2?
数a的取值范围是( )
?π?A.?0，?
3??
C.?
B.?D.?
?π，π?
??32??π，π?
??3?
?π，2π?
3??2?
π?π??1?解析：选D.因为f(x)＝sin?x＋?的值域是?－，1?，所以由函数的图象和性质可知6?2??2?π7π?π?≤a＋≤，解得a∈?，π?.故选D.
66?3?
?π??π?5．比较大小：sin?－?________sin?－?.
?18??10?
πππ?π??π?解析：因为y＝sin x在?－，0?上为增函数且－＞－>－，故sin?－?＞
18102?2??18?
?π?sin?－?.
?10?
答案：＞
- 2 -
π??6．已知函数f(x)＝4sin?2x－?，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是3??________．
πππ
解析：由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
232π5π
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
1212又因为x∈[－π，0]，
7π??π??所以f(x)的增区间为?－π，－?和?－，0?.
12??12??7π??π??答案：?－π，－?和?－，0?
12??12??π??7．已知f(x)＝2sin?2x＋?.
4??(1)求f(x)的单调递增区间；
?π3π?(2)当x∈?，?时，求函数f(x)的最大值和最小值．
4??4
πππ
解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
2423ππ
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
88
3ππ??故f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?，k∈Z.
88??3ππ7π?π3π?(2)当x∈?，?时，≤2x＋≤，
4?444?4
π?2??π3π?所以－1≤sin?2x＋?≤，所以－2≤f(x)≤1，所以当x∈?，?时，函数f(x)4?24???4的最大值为1，最小值为－2.
π???ππ?8．已知函数f(x)＝sin?2x－?.讨论函数f(x)在区间?－，?上的单调性并求出其
6???122?值域．
πππππ
解：令－≤2x－≤，则－≤x≤.
26263令
ππ3π5π≤2x－≤π，则≤x≤. 26236
ππ因为－≤x≤，
122
π???ππ??ππ?所以f(x)＝sin?2x－?在区间?－，?上单调递增，在区间?，?上单调递减．
6???123??32?
- 3 -
π
当x＝时，f(x)取得最大值为1.
33?π?1?π?因为f?－?＝－ 所以当x＝－时，f(x)min＝－. 122所以f(x)的值域为?－? ?3?，1?. 2? [综合题组练] 1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，且当x＝ 2π 时，函数f(x)取得最小值，则( ) 3 A．f(1) B．f(0) 2π 解析：选C.因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝＝2，故 π f(x)＝Asin(2x＋φ)，因为当x＝ 2π2π 时，函数f(x)取得最小值，所以2×＋φ＝2kπ－33 π11ππ ，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z，又φ>0，故可取k＝1，则φ＝，故f(x)＝266 Asin?2x＋?，所以f(－1)＝Asin?－2＋?<0，f(1)＝Asin?2＋?>0，f(0)＝Asin 666 ?? π?? ?? π?? ?? π? ? π1＝62 ??????A>0，故f(－1)最小．又sin?2＋?＝sin?π－2－?＝sin?－2?>sin ，故 6?6?6???6? f(1)>f(0)，综上可得f(－1) ππ5ππ ?π??ππ?2．(2019·武汉市武昌区调研考试)若f(x)＝cos 2x＋acos ?＋x?在区间?，?上是 ?2??62? 增函数，则实数a的取值范围为( ) A．[－2，＋∞) C．(－∞，－4) B．(－2，＋∞) D．(－∞，－4] ?1?22 解析：选D.f(x)＝1－2sinx－asin x，令sin x＝t，t∈?，1?，则g(t)＝－2t－at＋ ?2? a?1?1在?，1?上是增函数，所以－≥1，即a≤－4，故选D. 4?2? ?π?3．已知f(x)＝sin 2x－3cos 2x，若对任意实数x∈?0，?，都有|f(x)| 的取值范围是________． - 4 - π?π???π??解析：因为f(x)＝sin 2x－3cos 2x＝2sin?2x－?，x∈?0，?，所以?2x－?∈3?4?3???? ?－π，π?， ?36??? π??所以2sin?2x－?∈(－3，1]， 3?? π??所以|f(x)|＝|2sin?2x－）?<3，所以m≥3. 3??答案：[3，＋∞) ?π??ππ?4．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间?0，?上单调递增，在区间?，?上单调递 3???32? 减，则ω等于________． 解析：因为f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点， ππ 所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数； 22ω当 π3ππ3π ≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数． 222ω2ω?π?由f(x)＝sin ωx(ω>0)在?0，?上单调递增， 3?? 在? ?π，π?上单调递减知，π＝π，所以ω＝3. ?2ω32?32? 3 答案： 2 5．(2019·武汉市部分学校调研)已知函数f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＋a(a为常数)． (1)求f(x)的单调递增区间； ?π?(2)若f(x)在?0，?上有最小值1，求a的值． 2?? 解：(1)f(x)＝2? 1?3?sin 2x＋cos 2x?＋a 2?2? π??＝2sin?2x＋?＋a， 6?? πππ 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z. 262ππ 所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 36 ππ??所以f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)． 36??πππ7π (2)当0≤x≤时，≤2x＋≤， 2666 - 5 -
2020版高考数学大一轮复习 三角函数的图象与性质(一)新题培优练(文)(含解析)新人教A版
