《用公式法解一元二次方程》教案
【学习目标】
1．了解一元二次方程的含义．
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2．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如(x－a)＝b(b≥0)的方程． 3．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程． 4．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程． 【主体知识归纳】
1．整式方程 方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程．
2．一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．
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3．一元二次方程的一般形式为ax＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．
4．直接开平方法 形如x＝a(a≥0)的方程，因为x是a的平方根，所以x＝±a，即x1＝a，x2
＝－a．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
2b2b?4ac2
5．配方法 将一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)化成(x＋)＝的形式后，当b－4ac≥22a4a2
2
0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1；(2)将常数项移到方程右边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．
?b?b2?4ac2
6．公式法 用一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x＝(b－4ac≥0)，这
2a种解一元二次方程的方法叫做公式法．
【基础知识讲解】
1．一元二次方程的概念包涵三个条件：(1)整式方程；(2)方程中只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2”．
一元二次方程的概念中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而
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言的．例如，判断方程2x＋2x－1＝2x是否是一元二次方程？应先整理方程，得2x－1＝0，所以此方程不是一元二次方程．
2
2．在求二次项、一次项和常数项时，要先整理方程，把方程化成一般形式，即ax＋bx＋c＝0，再确
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定所求．方程ax＋bx＋c＝0只有当a≠0时，才是一元二次方程，例如a＝0，b≠0时，它就是一元一次
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方程，因此，如果明确指出ax＋bx＋c＝0是一元二次方程，那么就一定包括a≠0这个条件．
2
3．直接开平方法适用于解化为x＝a形式的方程，当a≥0时，方程有实数解；当a＜0时，方程没有实数解．
4．配方法是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是负数时，方程无实数解．
5．求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，
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才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b－4ac的值，当b－4ac≥0时，代入公式求出方
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程的根；当b－4ac＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公 式了．
【例题精讲】
例1：指出下列方程中哪些是一元二次方程：
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(1)5x＋6＝3x(2x＋1)；(2)8x＝x；(3)y－y－1＝0；
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(4)4x－3y＝0；(5)－x＝0；(6)x(5x－1)＝x(x＋3)＋4x．
剖析：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，化成一般形式，然后再根据条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2．
只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程．
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解：(1)去括号，得5x＋6＝6x＋3x，移项、合并同类项，得x＋3x－6＝0， ∴此方程是一元二次方程．
2
(2)移项，得8x－x＝0，∴此方程是一元二次方程．
2
(3)因为未知数的最高次数是3，∴此方程不是一元二次方程． (4)∵方程中含有两个未知数， ∴它不是一元二次方程． (5)∵a＝－1≠0， ∴它是一元二次方程． (6)整理，得4x＝0
∴它不是一元二次方程．
例2：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：
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(1)2x＝3x＋5；(2)(x＋1)(x－1)＝1；(3)(x＋2)－4＝0．
剖析：虽然该题没有要求把方程化成一般形式，但在做题时，也要先把方程化成一般形式．因为方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程．
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解：(1)整理，得2x－3x－5＝0．二次项系数是2，一次项系数是－3，常数项是－5．
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(2)整理 ，得x－2＝0．二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－2．
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(3)整理，得x＋4x＝0．二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．
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例3:关于x的整式方程(m－1)x＋(2m－1)x＋4＝0是一元二次方程吗?
剖析：要判别原方程是否是一元二次方程，易想到用定义，满足条件：(1)整式方程；(2)方程中只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2．原方程显然满足(1)、(2)．由于不知m是怎样的实数，所以不一定满足(3)．因此，需分类探讨．
解：当m－1≠0，即m≠1时，原方程是一元二次方程．
当m－1＝0，即m＝1时，原方程是x＋4＝0是一元一次方程．
说明：在移项、合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心，要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项系数．特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号．
例4:用直接开平方法解下列方程：
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(1)3x－27＝0；(2)(3x－5)－7＝0．
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解：(1)3x－27＝0，3x＝27，x＝9，
∴x＝±9，即x＝3或x＝－3．∴x1＝3，x2＝－3．
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(2)(3x－5)－7＝0，(3x－5)＝7， ∴3x－5＝±7，
即3x－5＝7或3x－5＝－7．
7?5?7?5，x2＝． 332
例5：用配方法解方程2x＋7x－4＝0．
剖析：此题考查对配方法的掌握情况．配方法最关键的步骤是： (1)将二次项系数化为1；
(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；
2
(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x＋a)＝k的形式，然后用开平方法求解．
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解：把方程的各项都除以2，得x＋x－2＝0．移项，得x＋x＝2．配方，得x＋x＋()＝2
222472817281＋()＝，即(x＋)＝．
441616817791解这个方程，得x＋＝±，x＋＝±．即x1＝，x2＝－4．
164442说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变
2
形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x－4x＋3的值恒大于零，可以
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做如下的变形：2x－4x＋3＝2x－4x＋2＋1＝2(x－1)＋1．
例6：用公式法解下列方程：
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(1)2x＋7x＝4；(2)x－1＝23x．
2
解：(1)方程可变形为2x＋7x－4＝0．
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∵a＝2，b＝7，c＝－4，b－4ac＝7－4×2×(－4)＝81＞0，
∴x1＝
?7?72?4?2?(?4)?7?91?∴x＝．∴x1＝，x2＝－4．
2?2422
(2)方程可变形为x－23x－1＝0．
∵a＝1，b＝－23，c＝－1，b－4ac＝(－23)－4×1×(－1)＝16＞0． ∴x＝
2
2
?(?23)?1623?4?．∴x1＝3＋2，x2＝3－2．
2?12说明：在用公式法解方程时，一定要先把方程化成一般形式．
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例7：一元二次方程(m－1)x＋3mx＋(m＋3m－4)＝0有一根为零，求m的值及另一根．
2
解：因为方程有一根为零，所以它的常数项m＋3m－4＝0，解得m1＝1，m2＝－4，又因为此方程是一元二次方程，所以m－1≠0，即m≠1，所以m＝－4．
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把m＝－4代入方程，得－5x＋48x＝0， 解得：x1＝0，x2＝9.6， 所以方程的另一根为9.6．
说明：方程有一根为零时，常数项必须为零；求解字母系数的一元二次方程的问题中，二次项系数的字母必须保证二次项系数不等于零，这是解此类问题的先决条件．
【同步达纲练习】 1．选择题
(1)下列方程中是一元二次方程的是( )
24x2x2
A．2?＝0 B． D．5x＝3x?＝0 C．x＋2xy＋1＝0
23xx－1
(2)下列方程不是一元二次方程的是( )
A．
12
x＝1 2 B．0.01x＋0．2x－0.1＝0C．2 x－3x＝0
22
D．
12
x－x＝212
(x＋1) 22
(3)方程3x－4＝－2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．3，－4，－2 B．3，2，－4 C．3，－2，－4 D．2，－2，0
2
(4)一元二次方程2x－(a＋1)x＝x(x－1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a的值为( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2
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(5)若方程(m－1)x＋x＋m＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )
A．m≠0 B．m≠1 C．m≠1且m≠－1 D．m≠1或m≠－1
(6)方程x(x＋1)＝0的根为( )
A．0 B．－1 C．0，－1 D．0，1
2
(7)方程3x－75＝0的解是( )
A．x＝5 B．x＝－5 C．x＝±5 D．无实数根
2
(8)方程(x－5)＝6的两个根是( )
A．x1＝x2＝5＋6 B．x1＝x2＝－5＋6
C．x1＝－5＋6，x2＝－5－6 D．x1＝5＋6，x2＝5－6
2
(9)若代数式x－6x＋5的值等于12，那么x的值为( )
A．1或5 B．7或－1 C．－1或－5 D．－7或1
(10)关于x的方程3x－2(3m－1)x＋2m＝15有一个根为－2，则m的值等于( ) A．2
B．－
2
1 2 C．－2 D．
1 22．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：
2
(1)4x＋1＝9x； (2)(x＋1)(x－3)＝2x－3；
(3)(x＋3)(x－3)＝2(x－3)； (4)3y－2y＝2y－3y＋5．
2
3．当m满足什么条件时，方程(m＋1)x－4mx＋4m－2＝0是一元二次方程?当x＝0时，求m的值． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)x＝
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2
2
2
9； 4(2)x＝1．96；
2
2
(3)3x－48＝0； (6)(6x－7)－9＝0．
2
2
(4)4x－1＝0； (5)(x－1)＝144；
5．用配方法解下列方程：
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(1)x＋12x＝0； (2)x＋12x＋15＝0
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(4)9x＋6x－1＝0； (5)5x－2＝－x；
6．用公式法解下列方程： (1)x－2x＋1＝0； ＋x＝0．3；
2
(3)x－7x＋2＝0；
2
(6)3x－4x＝2．
2
(2)x(x＋8)＝16； (3)x－
2
5x＝2； 3 (4)0．8x2
(5)4x－1＝0； (6)x＝7x； (7)3x＋1＝23x；
＋7x＋1＝0．
2
7．(1)当x为何值时，代数式2x＋7x－1与4x＋1的值相等?
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(2)当x为何值时，代数式2x＋7x－1与x－19的值互为相反数?
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(8)12x2
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8．已知a，b，c均为实数，且a2?2a?1＋｜b＋1｜＋(c＋3)＝0，解方程ax＋bx＋c＝0．
2
9．已知a＋b＋c＝0．求证：1是关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根．
10．用配方法证明：
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(1)3y－6y＋11的值恒大于零；(2)－10x－7x－4的值恒小于零．
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11．证明：关于x的方程(a－8a＋20)x＋2ax＋1＝0，不论a为何实数，该方程都是一元二次方程．
【思路拓展题】
怎样付车费才合理
节假日里，乘坐出租车出游成为城市市民经济实惠的一种选择，朋友们合乘一辆出租车，AA制(即平均分摊)方式分摊车资是一种合理且现代的消费方式．有一次，甲、乙、丙三位朋友合乘一辆出租车，讲好
12处下车，乙在全程的处下车，最后丙一人坐到了终点，共付了90元钱．请大家分摊车资，甲在全程的
33你算一算，甲、乙应该付给丙多少车费?
《用公式法解一元二次方程》教案-01
