_______号班学教 装 名 姓 _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _号 订学 课 选 _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ 业 专 _ _ _ ____ 线________ ）系（院学
5. 随机变量(X,Y)的分布如下，写出其边缘分布.
2010～ 2011学年度第二学期
《概率论与数理统计》试卷A评分标准及答案
X Y 0 1 2 3 P?j
6课程代码：1590056 试卷编号： 命题日期： 2011 年 4 月 10 日
1 0 33 8 8 0 8 答题时限： 90 分钟 考试形式：闭卷笔试
3 18 0 0 128 8 得分统计表： 题号
331总分 一 二 三 P1i? 8 8 8 8
100 18 12 70 6．设（X1，X2，…Xn）为来自总体X的样本，E（X）=μ，D（X）=σ2，
??11?2X11?2X2 一、 填空题（每题3分，共18分）
? ?1112?3X1?6X2?2X3
?111得分 18 ?3?3X1?3X2?3X3
μ的无偏估计量是 ????1,?2 ，哪个更有效 ?1 。
1．设事件A与B互不相容, 且P(A)?113,P(B)?4, 则P(AB)= 1/3 .
二、 选择题（每题2分，共12分）
2．设随机变量X的数学期望E(X)??, 方差D(X)??2, 则由切比雪夫不等
式, 有P{|X??|?2?}? 3/4 .
得分 12 3. 在总体X~N(30,22
)中随机地抽取一个容量为16的样本，则样本均值X在1． 设X为今年任一时刻天津的气温，Y为今年任一时刻北京的气温，则今29到31之间取值的概率= 0.9544 . （?(2)?0.9772） 年天津的气温变化比北京的大，相当于 A .
4. 设一个工人生产了四个零件，Ai表示事件“他生产的第i个零件是正
A、D(X)?D(Y) B、E(X)?E(Y) C、P{X?Y} D、X?Y 品”(i?1,2,3,4)，用A1,A2,A3,A4的运算关系表达事件：至少有一个产2. 设总体X~N(?,?2), 其中?与?2都是未知参数, ???????,??0,
品是次品B2?A1?A2?A3?A4?A1A2A3A4
(X1,X2,,Xn)是从总体X中抽取的一个样本, 则参数?的置信度为1??的置
信区间为 C .
试卷编号： 第 1 页 共 3页
_______号班学教 装 名 姓 _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _号 订学 课 选 _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ 业 专 _ _ _ ____ 线________ ）系（院学
1.某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为A、 ??X??Z???n?,X?Z?? B、
?X?SZ,XS??2n2??n??Z??
2n2?0.95，不患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.05，并假定就诊者中有C、??X?S?0.005的人患有癌症。
?ntX?Snt??(n?1),?(n?1)? D、 ?X?St(n),X?St(n)?22??n??? 2n2?1）任选做实验的人，其实验结果反应为阳性的概率是多少？
3． 设K在[-3，5]上服从均匀分布，事件B为“方程x2－2Kx—K=0有实根”，2）已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？ 则P(B)= C
解：设A“癌症患者”，B“反应阳性”. ....................（1分） A、 1/2 B、 3/4 C、 7/8 D、 1
则P(BA)?0.95，P(BA)?0.05，P(A)?0.005 ..............（1分）
4．设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N（0，1）
1）由全概率公式：
和N（1，1），则下列结论正确的是 B
P(B)?P(BA?BA)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)
=0.005*0.95+0.995*0.05=0.00475+0.04975=0.0545 ...（4分）
A、 P?X?Y?0??1/2 B 、 P?X?Y?1??1/2 2）由贝叶斯公式：
C、 P?X?Y?0??1/2 D 、 P?X?Y?1??1/2 P(AB)?P(AB)P(B)?0.004750.0545?0.087 .......................（4分） 5．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平为?，则犯第一类错误的
概率是 B 。 ?Ax0?x?1A、1??
B、?
C、
?的概率密度为
f(x)????2?x,1?x?2
2 D、不能确定
2．设随机变量X???0,其它6．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)?2.4,D(X)?1.44，则二项分布
求：1）A；2）X的分布函数F(x)；3）P(-1 的参数n,p的值为 D . 解： 1)A=1..........................................（3分） A、n?5,P?0.2 B、n?6,p?0.2 ?0,x?0??x2C、n?5,p?0.4 D、n?6,p?0.4 2)F(x)???2,0?x?12 .................（4分） ??x??2x?1,1?x?2?2三、 计算题（共70分） ?1,x?23）P(-1 得分 70 试卷编号： 第 2 页 共 3页 _______号班学教 装 名 姓 _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _号 订学 课 选 _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ 业 专 _ _ _ ____ 线________ ）系（院学3．设随机变量(X,Y)在区域D??(x,y)0?y?x?1?内服从均匀分布. 求：1）X,Y的联合概率密度函数；2）X,Y的边缘概率密度函数； 3）X,Y是否独立，为什么？ 解：1）f(x,y)???2,0?y?x?1???0,其他....................（3分） ?x2） f)????2dy,0?x?1??2x,0?x?1X(x?0???................（2 分） ???0,其他?0,其他?12dx,0?y?1f(y)???2(1?y),0?y?1Y???y???..............（2 分）???0,其他??0,其他3）?fX(x)fY(y)?f(x,y),?X与Y不独立。.............（3分） 4．设随机变量(X,Y)的联合分布率如下，求?XY. Y X 0 1 2 0 1219 9 9 1 22 9 9 0 2 19 0 0 试卷编号： 5．在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率. 解：设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数， 则E(X)?500,D(X)?250， P{450?X?550}?P{|X?500|?50} ?P{|X?E(X)|?50}?1?D(X)502?1?2502500?0.9 6．X1,X2,,Xn为总体X的一个样本, X的概率密度为 ?(??1)x?f(x,?)??,0?x?1,?0,其他,???1. (1)用矩方法估计未知参数?； (2)用极大似然估计法估计未知参数?. 1解：（1）因 E(X)??x(??1)x?dx??1(???1???1??21??100?1)xdx??2x|0???2 ......................（2分） 令E(X)?X .................................（2分） ????2X?11?X为?的矩估计......................（1分） 2）似然函数 L(x1,x2,xn;?)?(??1)n(x1x2xn)?（， 0?xi?1,i?1,2,,n ........................................（2分） n?lnL?nln(??1)???lnXii?1，.....................（1分） dlnLn?n由d???1??lnXi?0i?1......................（1分） 第 3 页 共 3页 _______号班学教 装 名 姓 _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _号 订学 课 选 _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ 业 专 _ _ _ ____ 线________ ）系（院学 ????(1?nn)X得，?的极大似量估计量为 ?lnii?1.....（1分） 7．某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算 得平均成绩为66.5分，标准差为10分。问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。 t0.05(35)=1.6896 t0.05(36)=1.6883 t0.025(35)=2.0301 t0.025(36)=2.0281 Z0.05=1.645 Z0.025=1.96 解：n?36,x??66.5,s?10,??0.05,?0?70 设 H0:???0,H1:???0 ..............（2分） （为σ2未知的μ的双边假设检验） x??H 构造统计量：T??00下sn?t(n?1) ..............（2分） 拒绝域 W???T?t??(n?1)? ..............（2分） ?2? 整理数据：t0.025(35)=2.0301，T=-2.1 因为：2.1>2.0301 T?W ..............（2分） 所以：拒绝H0， 不可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。...（2分） 试卷编号： 第 4 页 共 3页
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