3．三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：1.探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程.2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．(重点)3.会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．(难点)
教材整理1 三个正数的算术-几何平均不等式 阅读教材P8～P9定理3，完成下列问题．
1．如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么3
3
3
a＋b＋c33≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．
已知a，b，c为正数，则＋＋有( )
abcbca - 1 -
A．最小值为3 C．最小值为2
3abcabcA [＋＋≥3××＝3，
bcabcaB．最大值为3 D．最大值为2
当且仅当＝＝，即a＝b＝c时，取等号．] 教材整理2 基本不等式的推广
阅读教材P9～P9“例5”以上部分，完成下列问题．
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即
abcbcaa1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
教材整理3 利用基本不等式求最值
阅读教材P9～P9“习题1.1”以上部分，完成下列问题．
若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么a＝b＝c时，积abc有最大值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和a＋b＋c有最小值．
n
4
设x＞0，则y＝x＋2的最小值为( )
xA．2 C．32
4
B．22 D．3
3xx4
D [y＝x＋2＝＋＋2≥3···2＝3，
x22x22xxx4
x4
当且仅当＝2时取“＝”号．]
2x - 2 -
证明简单的不等式 ?111?2
【例1】 设a，b，c为正数，求证：?2＋2＋2?(a＋b＋c)≥27.
?abc?
3
[精彩点拨] 根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥3abc，结合不等式的性质证明． [自主解答] ∵a>0，b>0，c>0， 3
∴a＋b＋c≥3abc>0， 32222
从而(a＋b＋c)≥9abc>0. 又2＋2＋2≥31
1
1
3
1>0，
abcabc222
?111?2∴?2＋2＋2?(a＋b＋c) ?abc?
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3≥3
1
abc2223222
·9abc＝27，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0.
(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．
2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．
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1．(2024·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明： (1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2
；
(2)(a＋b)3
＋(b＋c)3＋(c＋a)3
≥24.
[证明] (1)因为a2
＋b2
≥2ab，b2
＋c2
≥2bc，c2
＋a2
≥2ac，又abc＝1，故有a2
＋b2
＋c2
≥ab＋bc＋ca ＝
ab＋bc＋caabc ＝1a＋1＋1bc.
所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2
.
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有
(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33?a＋b?3?b＋c?3?a＋c?3
＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac) ＝24，
所以(a＋b)3
＋(b＋c)3
＋(c＋a)3
≥24.
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高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1不等式3.三个正数的算术几何平均不等式学案新人教A版选修4_5
